八年级上学期期末数学试题（解析版） (8)

这是一份八年级上学期期末数学试题（解析版） (8)，共18页。
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，测评时间120分钟；
2．试卷如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二部分直接在试卷上作答；
3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴ ．
2. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：D．
3. 如图，在中，直线，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由平行线的性质求出，再利用三角形内角和即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
4. 下列选项中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式运算中幂的运算法则与合并同类项法则，根据整式运算中幂的运算法则与合并同类项法则逐一计算选项即可得到结果．
【详解】解：A、，运算正确，符合题意；
B、，运算错误，不符合题意；
C、，运算错误，不符合题意；
D、，运算错误，不符合题意．
5. 如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（ ）
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵A、F、B、D四点在同一直线上，，，
∴．
6. 若将多项式因式分解得，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值．
【详解】解：
，
又∵，
∴多项式对应项系数相等，
得，
解得，
代入得．
7. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可.
【详解】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，
∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，
∴燃油汽车平均每千米的加油费为元，
∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元，
∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为，
又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，
∴．
8. 如图，将一等腰放置在直角坐标系中，直角顶点的坐标为，另两顶点、分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标．
详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，
∵，
∴，，
∵等腰中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
10. 氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键．
根据科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可．
【详解】解：，
故答案：．
11. 如图，与相交于点O，，要使，则需添加的一个条件可以是________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件，，，再加一个条件或，即可满足．
【详解】解：∵，，
添加，
∴；
添加，
∴；
故答案为：（答案不唯一）．
12. 若关于的分式方程无解，则的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解．
【详解】解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．
当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根．
分式方程的增根使最简公分母为0，即，得，
将代入，得，
解得．
综上，的值为或．
13. 如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. 如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为___________．
【答案】##62度
【解析】
【分析】在上截取，连接，证明，得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时，
的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
∵，平分交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
当点A、P、E在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，
此时，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】通过线段的转化及垂线段最短是解决此类问题常用的方法．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15 分解因式：．
【答案】
【解析】
【分析】先变形，提取公因式，再利用平方差公式即可．
【详解】解：
．
16. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先求出，再把所求式子利用单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
18. 如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。
【详解】解：如图，折痕即为所求.
19. 如图，点、在线段上，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出，进而根据可得出，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
20. 已知、、分别是的三边长，化简：．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可．
【详解】解：、、分别是的三边长，
，，
，，
则原式
．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析,
（2）
【解析】
【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可；
（2）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；
【小问2详解】
解：．
22. 如图，在中，，，平分交于点，为线段上的一点，过点作交线段的延长线于点，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和为可以求出，根据角平分线定义可知，根据三角形内角和定理即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
平分，
，
在中，，
，
，
，
．
23. 凡凡在物理课上学习了“发声物体的振动实验”后，对其作了进一步的探究，如图①，凡凡在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置，如图②，凡凡用发声物体靠近小球，当小球从摆到位置时，小球到的水平距离，当小球摆到位置时，于点，此时与恰好垂直，小球在两次摆动中点和点的高度差，求小球摆动到位置时，小球到的水平距离的长．（图中所有的点在同一平面上）
【答案】
【解析】
【分析】证明即可解答．
【详解】解：根据题意知，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
24. 若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．
（1）通过计算判断45是否为“完美数”；
（2）已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．
【答案】（1）45是“完美数”
（2）符合条件的的值为10
【解析】
【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果；
（2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，
∴45“完美数”；
【小问2详解】
解：
，
∵为“完美数”，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为10．
25. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件．
（1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？
（2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？
【答案】（1）每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元
（2）最少预约销售了A款人形机器人10件
【解析】
【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可；
（2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量．
【小问1详解】
解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得
，
解得 ，
检验：当时，，所以是原分式方程的解，
则，
答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元；
【小问2详解】
解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得
，
解得，
答：最少预约销售了A款人形机器人10件．
26. “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点．
（1）如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程；
（2）如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解；
（2），理由见详解
【解析】
【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到．
（2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到．
【小问1详解】
解：线段之间数量关系为：，理由：
如图，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由：
如图，在的延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
．