八年级上学期期末数学试题（解析版） (3)

这是一份八年级上学期期末数学试题（解析版） (3)，共18页。
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号．
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 请将选项填涂在答题卡中）
1. 若分式的值存在，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式有意义，分式的值存在要求分母不为0，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵分式的值存在，
∴分母不能为0，即，
解得．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除运算及同类项的概念，熟练掌握幂的运算规则（积的乘方：；同底数幂相乘：；同底数幂相除：）是解题的关键．
根据幂的乘方、同底数幂的乘除、同类项合并的运算法则，逐一判断每个选项的运算是否正确．
【详解】解： ，故选项A正确．
，故选项B错误．
与不是同类项，不能直接相减，故，选项C错误．
，故选项D错误．
故选：A．
3. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案．
【详解】解：∵，即：，
∴的值在4和5之间，
故选：．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，正确得出与无理数接近的两个连续的整数是解决此类型题目的关键，“无限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
是斜边的中点，
．
5. 已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值．
【详解】∵ 分式方程的解是，
∴ 将代入原方程，得 ，
整理得 ，
交叉相乘，得 ，
解得 ，
检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求，
∴ 的值为，
故选D．
6. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
详解】解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
7. 如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
A、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意；
B、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意；
C、添加条件，则，即，结合条件，，可以由证明，不符合题意；
D、添加条件，得，结合条件，，不可以由证明，符合题意．
8. 施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ ）
A. =2B. =2
C. =2D. =2
【答案】A
【解析】
【详解】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：=2，
故选A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
9. 在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
米，
米，
米，
米．
10. 若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和．
【详解】解：，
设，
，都是正数，
，
由①得： ④，
将④代入②得： ，
化简得：，
，两边同除以得：，
∴，即，
再将④代入③得：，
化简得：，
，两边同除以得：，
∴，
，两边同除以得：，即，
的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卡中）
11. 目前发现的新冠病毒其直径约为 毫米，将 用科学记数法表示为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．解决问题的关键在于确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________．
【答案】稳定性
【解析】
【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，
∴运用的数学原理是三角形的稳定性．
13. 计算：+ =__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据同分母分式的加法法则计算即可.
【详解】+
=
=1
故答案为1
【点睛】本题考查同分母分式的加减法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；熟练掌握运算法则是解题关键.
14. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的．
【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
15. 已知实数，满足，，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：，
将，代入，得原式．
16. 如图，在等边中，，点在边上，且，是边上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①连接，判断的形状是_____________；
②当点在边上运动时，连接，则线段长度的最小值是__________．
【答案】 ①. 等边三角形 ②.
【解析】
【分析】解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质．
①根据等边三角形的判定方法进行解答即可；
②当点运动到使得时，延长交于点，根据等边三角形性质和判定推出，再结合垂线段最短可知，此时线段长度的最小，最后利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：①根据旋转的性质可知，，，
的形状是等边三角形；
②当点运动到使得时，延长交于点，
是等边三角形， ，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
根据垂线段最短可知，此时线段长度的最小，
且线段长度的最小值为．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 把下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用提取公因式分解因式即可；
（2）运用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式．
18 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握实数的运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算；
（2）先根据二次根式的除法法则、平方差公式对各项进行化简，再合并同类二次根式．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【解析】
【分析】先根据运算法则先进行化简，再代入求值．
【详解】解：原式；
当时，原式．
20. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根．
（1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根；
（2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘，
可得：，
去括号可得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：把代入，
可得：，
是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：，
方程两边同乘，
可得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：把代入，
可得：，
是原分式方程的解．
21. 如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，作直线与相交于点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由尺规作图可知：直线垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知，再根据角之间的关系求出的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得：，根据等角对等边即可求出的度数．
【小问1详解】
解 如下图所示，在中，
，，
，
由尺规作图可知：直线垂直平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
在中，
，，
，
．
22. 如图，在与中，满足，．
（1）求证：；
（2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，结合，可得结论.
【小问1详解】
证明：和中，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：， 理由如下：
∵，
∴．
∵，，
∴．
23. 第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束． 其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下：
信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元；
信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半．
（1）求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？
（2）经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？
【答案】（1）每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元
（2）该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品
【解析】
【分析】（1）设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元，根据“用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半”得到方程，即可解得结果；
（2）设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品，由于买一个 A 赠一个 B，实际只需支付 个 B 种用品的费用，且需满足总需求量 ，根据题意列不等式组，求解即可得到结果．
【小问1详解】
解：设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元，
根据题意得，
解得，
经检验是所列方程的解，且符合题意，
则(元/个)，
答：每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元；
【小问2详解】
解：设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品，
根据题意得，
解得，
答：该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品．
24. 已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)．
（1）如图，若点在上，且，则的度数是________；
（2）如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数；
（3）如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）度数为
（3）的面积是
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的内角为，结合等腰三角形“等边对等角”三角形内角和定理，直接求出的度数；
（2）根据等边三角形的边相等、角相等的性质，结合已知条件，通过证明，再利用三角形外角的性质，将转化为等边三角形的内角，从而求出其度数；
（3）通过构造辅助线，结合已知条件证明角相等，再通过证明得到线段相等关系；设未知数后利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算的面积．
【小问1详解】
解：，
，
∵在等边中，，
；
【小问2详解】
解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：延长到点，使得，连接，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
和中，
，
∴，
，
令，则，
，，，
，
在中，
，，
，则，
由得，，则，
在中，，
由勾股定理得，
则，解得，
，
，
，
的面积是．