2024-2025学年河北省廊坊市部分学校七年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市部分学校七年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列实数中，最小的是
A．B．C．0D．
2．（3分）为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是
A．本次调查采用的是抽样调查
B．每个运动员是个体
C．样本容量为50
D．50名运动员的年龄是总体的一个样本
3．（3分）下面列出的不等式中，正确的是
A．“不是正数”表示为
B．“不大于3”表示为
C．“与4的差是负数”表示为
D．“至少是6”表示为
4．（3分）下列命题中，属于真命题的是
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．点到直线的垂线段叫作点到直线的距离
C．同位角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（3分）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是
A．B．C．D．
6．（3分）我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法错误的是
A．参赛学生人数为8人
B．最高分为100分
C．最高分与最低分的差是15分
D．参赛学生得100分的频率为0.2
7．（3分）若方程组的解是，则
A．2B．C．0D．4
8．（3分）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）若点位于第三象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．（3分）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是
A．B．C．D．
11．（3分）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为
A．B．C．D．
12．（3分）已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如果的算术平方根是3，那么的平方根是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
15．（3分）如图1为户外坐椅的侧面图，图2是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则 ．
16．（3分）已知关于的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：．
18．（9分）解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和．
19．（9分）已知，，，，试说明：．
20．（9分）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，背根据图中的信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了 名观众；
（2）补全条形统计图；
（3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人．
21．（9分）已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
（3）若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
22．（9分）定义：对于关于，的二元一次方程（其中，将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为．
（1）方程的“对称方程”为 ，它们组成的方程组的解为 ；
（2）若关于，的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值．
23．（9分）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求、两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买、两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
24．（9分）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能．
【问题初探】
（1）如图1，，，求证：．
【拓展探究】
（2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
【迁移应用】
（3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ．
（4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数．
2024-2025学年河北省廊坊市部分学校七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在下列实数中，最小的是
A．B．C．0D．
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【解答】解：正数大于0，0大于负数，，，，
和0不是最小的，故、选项不符合题意，
最小的数在负数中，
，，，
．
最小的数是；
故选：．
【点评】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握法则是解题的关键．
2．（3分）为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是
A．本次调查采用的是抽样调查
B．每个运动员是个体
C．样本容量为50
D．50名运动员的年龄是总体的一个样本
【分析】统计调查中的基本概念，包括总体、个体、样本、样本容量及调查方式．根据定义逐一分析选项．
【解答】解：、调查仅抽查了50名运动员的年龄，属于抽样调查，选项说法正确，不符合题意；
、个体是每个运动员的年龄，而非运动员本身，选项说法错误，符合题意；
、样本容量为被抽取的个体数50，选项说法正确，不符合题意；
、样本是50名运动员的年龄数据，选项说法正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，掌握相应的定义是关键．
3．（3分）下面列出的不等式中，正确的是
A．“不是正数”表示为
B．“不大于3”表示为
C．“与4的差是负数”表示为
D．“至少是6”表示为
【分析】正确的翻译各选项的句子，列出不等式，进行判断即可．
【解答】解：、“不是正数”表示为，原不等式错误，不符合题意；
、“不大于3”表示为，原不等式错误，不符合题意；
、“与4的差是负数”表示为，原不等式正确，符合题意；
、“至少是6”表示为，原不等式错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握其性质是解题的关键．
4．（3分）下列命题中，属于真命题的是
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．点到直线的垂线段叫作点到直线的距离
C．同位角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据相关知识逐一判断即可．
【解答】解：、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项不符合题意；
、点到直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故选项不符合题意；
、两直线平行，同位角相等，故选项不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了判断命题的真假，点到直线的距离，垂直的性质，平行线的性质等知识，理解这些概念和定理是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是
A．B．C．D．
【分析】利用图象法求解即可．
【解答】解：平行四边形的第四个顶点坐标为或或．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
6．（3分）我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法错误的是
A．参赛学生人数为8人
B．最高分为100分
C．最高分与最低分的差是15分
D．参赛学生得100分的频率为0.2
【分析】将各个分数的人数相加，得到参赛学生人数，从而判断选项；由折线统计图可直接判断选项；从折线统计图得到最高分与最低分，求差判断选项；将参赛学生得100分的人数除以总人数，即可判断选项．
【解答】解：、（人，
参赛学生人数为10人．故本选项说法错误；
、由折线统计图可得，最高分为100分．故本选项说法正确；
、最高分为100分，最低分为8（5分），它们的差为（分．故本选项说法正确；
、参赛学生得100分的由2人，其频率为．故本选项说法正确．
故选：．
【点评】本题考查折线统计图，读懂统计图是解题的关键．
7．（3分）若方程组的解是，则
A．2B．C．0D．4
【分析】根据方程组的解是，可以求得、的值，从而可以求得的值．
【解答】解：方程组的解是，
，
解得，，，
，
故选：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（3分）如图，三角形沿所在的直线向右平移得到三角形，当，时，平移的距离为
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平移的性质得到，根据题意求出，进而求出．
【解答】解：由平移的性质可知：，
，
，
，
，
解答：，
，即平移的距离为4，
故选：．
【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
9．（3分）若点位于第三象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据第三象限内的点的横纵坐标均为负数列出不等式组，求解即可．
【解答】解：点在第三象限，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题考查各象限内点的坐标特点，解一元一次不等式组，掌握其性质是解题的关键．
10．（3分）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是
A．B．C．D．
【分析】设桌子的高度为 ，第一个长方体的长为 ，第二个长方体的宽为 ，建立关于，，的方程组求解．
【解答】解：设桌子的高度为 ，第一个长方体的长为 ，第二个长方体的宽为 ，
由第一个图形可知桌子的高度为：，
由第二个图形可知桌子的高度为：，
两个方程相加得：，
解得：．
故选：．
【点评】本题是一道能力题，考查方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．
11．（3分）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为
A．B．C．D．
【分析】过点作交于点，过点作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案．
【解答】解：如图，过点作交于点，过点作，
，
，
，
下折臂与底座的夹角，
，
，，
，
，
上折臂与下折臂的夹角，
，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线，利用平行线的性质解答是解题的关键．
12．（3分）已知实数，满足，，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果．
【解答】解：根据等量代换及不等式的性质依次判断如下：
由题意可得：，
，
，
，选项错误，不符合题意；
，
，
，
，
，选项错误，不符合题意；
，
，
，
，
，选项正确，符合题意；
，，
，，
，选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如果的算术平方根是3，那么的平方根是 ．
【分析】对于两个实数、，若满足，那么就叫做的平方根，若为非负数，那么就叫做的算术平方根，据此可得，解方程求出的值，进而求出的值即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，，
，
，
的平方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根，掌握相应的定义是关键．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【分析】利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加3，纵坐标减5即可得到点的坐标，由此求出，的值，即可解答．
【解答】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，
，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握其性质是解题的关键．
15．（3分）如图1为户外坐椅的侧面图，图2是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则 44 ．
【分析】先根据平角求出的度数，再根据平行线得到，据此求解即可．
【解答】解：，，
，
与地面平行，
，
故答案为：44．
【点评】本题考查平行线的性质的实际应用，掌握其性质是解题的关键．
16．（3分）已知关于的不等式组至少有2个整数解，则的取值范围是 ．
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组至少有2个整数解得，再求出的范围即可．
【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
解不等式组，得，
至少有2个整数解，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，掌握其性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）计算：．
【分析】先根据算术平方根、实数的混合运算、立方根化简，然后再计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
18．（9分）解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和．
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，然后得到整数解求和即可作答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为1，2，3，
不等式组的所有整数解的和是．
【点评】本题考查了求解不等式组的知识，熟练掌握该知识点是关键．
19．（9分）已知，，，，试说明：．
【分析】由同位角推知两直线，所以内错角；然后由已知条件和等量代换求得同位角；所以两直线；最后根据平行线中的一条垂直于另一条直线，则另一条平行线也垂直于同一条直线证得．
【解答】证明：，
（同位角相等，两直线平行）；
（两直线平行，内错角相等）；
又，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）；
而，
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
20．（9分）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，背根据图中的信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了 150 名观众；
（2）补全条形统计图；
（3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人．
【分析】（1）根据喜欢敖丙的人数除以占比即可得出样本的容量；
（2）有样本容量乘求出喜欢“哪吒”的人数，再用总人数减去喜欢哪吒、熬丙、李靖的人数，求出喜欢“其它”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解．
【解答】解：（1）根据喜欢敖丙的人数除以占比可得：
本次调查的观众共有（名，
故答案为：150；
（2）喜欢“哪吒”的观众有：（名，
喜欢“其它”的观众有：（名，
补全条形统计图如下：
（3）（人，
估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体．熟练掌握以上知识点是关键．
21．（9分）已知点，解答下列各题：
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
（3）若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案．
（2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案．
（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
点在轴上，
，
解得：，
则，
点的坐标为：；
（2）直线轴，
直线上所有点的纵坐标都相等，
，
解得：，
则，
即点的坐标为；
（3）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，
，
即，
解得：．
【点评】本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．
22．（9分）定义：对于关于，的二元一次方程（其中，将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为．
（1）方程的“对称方程”为 ，它们组成的方程组的解为 ；
（2）若关于，的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值．
【分析】（1）根据“对称方程”的定义写出关于，的二元一次方程的“对称方程”，二者组成方程组并求解即可；
（2）写出关于，的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组并将代入，得到关于和的方程组并求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，方程的“对称方程”是，
联立方程组可得，，
①②，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
方程组的解为．
故答案为：；；
（2）关于，的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组为，
将代入，
得，
①②，得，
，
解得：，
将代入①，得，
，
解得：，
．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
23．（9分）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求、两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买、两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
【分析】（1）设型机器人的单价是万元，型机器人的单价是万元，利用总价单价数量，结合信息一中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买台型机器人，则购买台型机器人，根据需要每天分拣快递不少于300万件，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买总费用为万元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设型机器人的单价是万元，型机器人的单价是万元，
根据题意得：，
解得：．
答：型机器人的单价是80万元，型机器人的单价是60万元；
（2）设购买台型机器人，则购买台型机器人，
根据题意得：，
解得：，
设购买总费用为万元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（台．
答：应该购买5台型机器人，5台型机器人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
24．（9分）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能．
【问题初探】
（1）如图1，，，求证：．
【拓展探究】
（2）在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
【迁移应用】
（3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 211 ．
（4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数．
【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证；
（2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解；
（3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解．
（4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可．
【解答】（1）证明：，
（同旁内角互补，两直线平行），
，
，
，
；
（2）解：，
过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
，
，
；
（3）解：，，的顶点分别为，，，
依题意，，作，则，
，
，
，
故答案为：211．
（4）解：过点作，
，
，
，
底部支架与吊线平行，
，
，
．
【点评】本题考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:34:33；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040型机器人台数
型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
型机器人每台每天可分拣快递33万件；
型机器人每台每天可分拣快递27万件．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
C
D
D
A
C
C
D
C
B
题号
12
答案
C
型机器人台数
型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
型机器人每台每天可分拣快递33万件；
型机器人每台每天可分拣快递27万件．