2024-2025学年河北省廊坊市霸州市八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省廊坊市霸州市八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，15D．5，12，13
4．（3分）如图，在正方形中有一点，连接，，，若△为等边三角形，则
A．B．C．D．
5．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则
A．B．C．D．
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
7．（3分）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为
A．12B．C．D．
8．（3分）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致，这种检查方法用到的数学依据是
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
9．（3分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是
A．2B．C．D．
10．（3分）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是
甲方案：在上取，连接、、、；
乙方案：作、分别平分，，连接，；
丙方案：作于点，于点，连接，．
A．甲、乙、丙B．甲、乙C．甲、丙D．乙、丙
11．（3分）若为实数，在“□”的“□”中添上一种运算符号（在“”“ ”“ ”“ ”中选择）后，其运
算的结果为有理数，则的值不可能是
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
14．（3分）已知是整数，则正整数的最小值是 ．
15．（3分）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的面积是 ．
16．（3分）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，，两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为．
【解决问题】设旗杆的高度为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）用含的式子表示为 ；
（2）请你求出旗杆的高度．
19．（8分）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球，游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
（1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
（2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
20．（8分）如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点、分别为线段、的中点，连接交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
21．（9分）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．
（1）求，之间的距离；
（2）求四边形的面积．
22．（9分）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和．
（1）求和的长；
（2）求菱形花坛的面积．
23．（11分）有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
（1）求矩形木板的长和宽；
（2）若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料；
（3）若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？
24．（12分）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
2024-2025学年河北省廊坊市霸州市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据运算法则逐一计算进行判断即可．
【解答】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
、，故选项计算错误，不符合题意；
、，故选项计算错误，不符合题意；
、，故选项计算正确，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来进行判断计算的结果．
3．（3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，15D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：．，，
，
不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
．，，
，
不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
．，
不能构成三角形，
故选项不符合题意；
．，，
，
能构成直角三角形，
故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理的应用．
4．（3分）如图，在正方形中有一点，连接，，，若△为等边三角形，则
A．B．C．D．
【分析】根据正方形性质得，，再根据等边三角形性质得，，进而得，，则，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
△是等边三角形，
，，
，，
，
在△中，，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
5．（3分）一技术人员用刻度尺（单位：测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则
A．B．C．D．
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长．
【解答】解：点、对应的刻度为1、7，
，
，点为线段的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角线平分对角
【分析】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：对于选项，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
7．（3分）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为
A．12B．C．D．
【分析】根据题目所给公式代入计算即可．
【解答】解：根据题目所给公式可得：，，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
8．（3分）如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致，这种检查方法用到的数学依据是
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．
【解答】解：如图，由题意，，
四边形都是平行四边形，
当时，四边形是矩形．
故选：．
【点评】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
9．（3分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是
A．2B．C．D．
【分析】根据正方形的面积为10得，在△中，由勾股定理得，再根据全等三角形的性质得，由此即可得出正方形的边长．
【解答】解：正方形的面积为10，
，
在△中，，
由勾股定理得：，
根据全等三角形的性质得：，
，
正方形的边长是2．
故选：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是
甲方案：在上取，连接、、、；
乙方案：作、分别平分，，连接，；
丙方案：作于点，于点，连接，．
A．甲、乙、丙B．甲、乙C．甲、丙D．乙、丙
【分析】由平行四边形的性质得，，所以，由，推导出，则△△，所以，，则，所以四边形是平行四边形，可判断甲方案正确；由，得，而，，所以，可证明△△，得，，则，所以四边形是平行四边形，可判断乙方案正确；由，得，由于点，于点，得，，可证明△△，得，所以四边形是平行四边形，可判断丙方案正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：甲方案：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
四边形是平行四边形，
故甲方案正确；
乙方案：四边形是平行四边形，
，，，
，
、分别平分，，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
四边形是平行四边形，
故乙方案正确；
方案丙：四边形是平行四边形，
，，
，
于点，于点，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
故丙方案正确，
故选：．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明且或且是解题的关键．
11．（3分）若为实数，在“□”的“□”中添上一种运算符号（在“”“ ”“ ”“ ”中选择）后，其运
算的结果为有理数，则的值不可能是
A．B．C．D．
【分析】根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可．
【解答】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项中的代数式，因此选项不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项、中的代数式，因此选项、选项不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项、中的代数式，因此选项、选项不符合题意；
如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则可以为选项中的代数式，因此选项不符合题意；
综上所述，的值不可能是选项中的代数式，
故选：．
【点评】本题考查分母有理化，掌握有理化因式的特征以及二次根式的混合运算的法则是正确判断的关键．
12．（3分）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为
A．2B．C．D．
【分析】如图，取的中点，连接、、，作于．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取的中点，连接、、，作于．
四边形是平行四边形，，
，，
，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
在△中，，，
，
，，
，
点在上，
的最大值为的长，最小值为的长，
的最大值为，最小值为，
的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为：
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
【分析】利用两点间的距离公式进行计算即可．
【解答】解：由题意，得：点到原点的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查求点到原点的距离，掌握其公式是解决此题的关键．
14．（3分）已知是整数，则正整数的最小值是 6 ．
【分析】先分解质因数，再根据为整数和为正整数得出答案即可．
【解答】解：，
是整数，
正整数的最小值是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键．
15．（3分）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形的面积是 625 ．
【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知
；
故答案为：625．
【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
16．（3分）如图，的方格纸中小正方形的边长为1，，两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 5 个．
【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：在直线的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为．
【解决问题】设旗杆的高度为 ，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）用含的式子表示为 ；
（2）请你求出旗杆的高度．
【分析】（1）根据比旗杆多出的部分绳子的长度是即可得的答案；
（2）在△中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度是，
故答案为：；
（2）在△中，米，米，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：旗杆的高度为12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
19．（8分）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球，游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
（1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
（2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并，你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可；
（2）求出的值，再将化简后，判断是否是同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）淇淇的说法正确，
理由：
，
，
的值与是同类二次根式，可以合并运算．
【点评】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法以及同类二次根式的定义是正确解答的关键．
20．（8分）如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点、分别为线段、的中点，连接交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，再证明，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）先根据平行四边形的性质得到，则可判断为的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
点、分别为线段、的中点，
，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
为的中位线，
．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行四边形的判定与性质．
21．（9分）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，．
（1）求，之间的距离；
（2）求四边形的面积．
【分析】（1）利用勾股定理即可求出答案；
（2）利用勾股定理逆定理证明△是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：（1）连接，
在△中，，，，
由勾股定理得，，
，之间的距离为；
（2）由条件可知：
，，，
，
△是直角三角形，
，
，
所以四边形的面积为．
【点评】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．熟练掌握该知识点是关键．
22．（9分）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建两条小路和．
（1）求和的长；
（2）求菱形花坛的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，，根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，，，
，
△是等边三角形，
，
，
，
；
（2）菱形花坛的面积．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和，直角三角形的性质，菱形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23．（11分）有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
（1）求矩形木板的长和宽；
（2）若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料；
（3）若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？
【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；
（2）根据矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可；
（3）根据，且，从而可以得出最多能截出5根这样的木条．
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：，
，．
矩形木板的面积为．
（2）能裁出符合条件的矩形木料，理由如下：
从长方形木板中裁出一个面积为，宽为，
裁出长为：．
由（1）得长方形的长为，宽为，
，，，
，．
可以裁出所求的矩形木料．
（3）由题意，结合（1）得长方形的长为，宽为，
又，且，
从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．
24．（12分）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论；
（2）根据三角形全等的判定证得△△，由全等三角形的性质即可得到结论；
（3）首先证得△△得到，，根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形；
（2）证明：平分，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（3）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，，
四边形是正方形；
，
△△，
，
，，
，
，
，
．
．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:06:35；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
D
C
B
B
D
C
A
A
C
题号
12
答案
C