河北省廊坊市霸州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2024.4
注意事项：1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．
2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚．
3.答案须用黑色字迹的签字笔书写．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列式子中，是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
【详解】解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
2. 如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵公路、互相垂直，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴， 即M，C两点间的距离为，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 0D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式定义，得，求得选择即可．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
解得，
故选B．
4. 图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点M，N分别是的中点，，那么小朋友在游戏中，点B离地面的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键．
根据题意，当点A着地时，最大，利用中位线定理计算即可．
【详解】根据题意，当点A着地时，最大，
又点M，N分别是的中点，，
，
故选C．
5. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查尺规作图及平行四边形的判定，涉及尺规作图作相等线段，再由平行四边形的判定即可得到答案，熟记尺规作图及平行四边形的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由作图知，，
∴四边形为平行四边形，
综合四个选项，判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
6. 若，则a与1的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键．
【详解】解：，
，
；
故选：B．
7. 如图，在中，直线b与，两边所夹的角分别为和，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由三角形的外角性质及三角形内角和求得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，

，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及平行四边形的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则算即可．
本题考查了二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】A、 ，错误，不符合题意；
B、 ，正确，符合题意；
C、不是同类二次根式，无法合并，不符合题意；
D、 不是同类根式，无法合并，不符合题意；
故选B．
9. 对于一个四边形，下列命题的逆命题中，不正确的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 平行四边形的两组对边分别相等
C. 矩形的对角线相等D. 矩形的四个角都是直角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了逆命题，平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．根据题意正确改下逆命题是解题的关键．
先将各选项改写成逆命题，然后根据平行四边形的性质与判定，矩形的判定判断正误即可．
【详解】解：由题意知，A选项的逆命题为平行四边形是对角线互相平分的四边形，正确，故不符合要求；
B选项的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故不符合要求；
C选项的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，错误，故符合要求；
D选项的逆命题为四个角都是直角的四边形是矩形，正确，故不符合要求；
故选：C．
10. 课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（ ）
A. 甲行、乙不行B. 甲不行、乙行C. 甲、乙都行D. 甲、乙都不行
【答案】C
【解析】
【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理．
【详解】解：图甲中大正方形的面积为：，
四个直角三角形的面积和为：，
则中间小正方形的面积为：，
∵中间小正方形边长c，
∴面积为，
∴，
∴图甲能利用面积验证勾股定理；
图乙中直角梯形的面积为：，
两个直角三角形的面积和为：，
中间等腰直角三角形的面积为：，
∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c，
∴中间等腰直角三角形的面积为，
∴，
即，
∴图乙能利用面积验证勾股定理；
综上分析可知，甲、乙都行，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式．
11. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是（1拃）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据勾股定理可知多媒体屏幕的对角线长度的平方是多媒体屏幕的长和宽的平方和，据此求解即可．
【详解】解：由勾股定理得：多媒体屏幕的对角线长度（拃），
∵1拃，
∴多媒体屏幕的对角线长度约为，
故选：C．
12. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）

A. 20cmB. 30cmC. 40cmD. 20cm
【答案】D
【解析】
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，其中第15，16小题第1个空2分，第2个空1分）
13. 计算的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式化简方法是解题关键．
14. 如图，x= ．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形三边之间的关系，根据勾股定理可求得的值，正确计算是解答本题的关键．
【详解】解：∵三角形直角三角形，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O．
（1）添加一个条件________，则可判定四边形是菱形；
（2）若，，则与的周长之差为________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握性质和坡度是解题的关键．
（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，添加一个条件即可；
（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的周长表达式，计算即可．
【详解】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以添加一个条件，
故答案为：；
（2）∵平行四边形中，对角线与交于点O，，，
∴，，，
∴与的周长之差为，
故答案为：2．
16. 如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，已知，．
（1）________．
（2）________．
【答案】 ①. 45 ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得到，结合已知和计算即可．
（2）根据折叠的性质，得到，结合，得继而得到，根据折叠的性质，得到，得到，关键勾股定理计算即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）根据折叠的性质，得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
（2）根据折叠的性质，得到，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得到，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
18. 如图，已知方格中每个小正方形的边长都为1．
图1 图2
（1）求图1中正方形的边长及面积（不需书写推理过程，只需写出计算算式及计算结果）；
（2）如图2，将一段数轴与这个方格最下面的格线重合，数轴的单位长度与小正方形的边长相同．请在方格中画一个面积为10的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上），并用圆规在数轴上画出表示实数的点．
【答案】（1）边长，面积
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，正方形的面积公式计算即可；
（2）根据勾股定理，计算正方形的边长为，画图即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质，基本作图，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
．
正方形的面积．
【小问2详解】
根据题意，得正方形的边长为，画图如下：
．
19. 已知，，求的值．
【答案】8
【解析】
【分析】先计算和的值，再把变形为，最后整体代入求值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，完全平方公式的变形，熟练掌握这些知识和方法是解题的关键．
20. 有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．

（1）判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由；
（2）求出洞穴到点D的距离．
【答案】（1）直角三角形，见解析
（2）120米
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理逆定理计算判断即可；
（2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键．
【小问1详解】
是直角三角形．
理由如下：
米，米，米，
，
，
，
即是直角三角形．
【小问2详解】
，
，
（米），
故洞穴到点D距离是120米．
21. 如图，在中，A、C分别在的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据平行线四边形的性质和补角的性质可得BE＝DF、∠BED＝∠DFB、∠AEB＝∠CFD，然后运用SAS即可证明结论；
（2）由平行线四边形的性质可得DE//BF、DE＝BF，然后根据线段的和差可得AD＝BC，最后再结合AD//BC即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF，∠BED＝∠DFB，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
【小问2详解】
证明：∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE//BF，DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，即AD＝BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定等知识点，灵活运用平行四边形的性质和判定定理是解答本题的关键．
22. 如图，，，，，连接，交于点F．小红给出如下操作和结论：
（1）请你帮小红完成操作及证明过程；
（2）试判断与有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2），，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形中位线定理证明即可．
本题考查了矩形的判定，中位线定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
，．
证明：四边形是矩形，
．
，
是的中位线，
，．
23. 如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．

（1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）长方形的周长为；
（2）种植青菜部分的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用．
（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜部分的面积，即可列式作答．
【小问1详解】
解：依题意：
长方形的周长
，
所以长方形的周长为；
【小问2详解】
解：依题意：
种植青菜部分的面积
，
所以种植青菜部分的面积为．
24. 在矩形中，，，点G，H分别是，的中点，点E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，连接，，若四边形为菱形，试说明四边形为菱形，并直接写出此时t的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角形全等的判定和性质，利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形即可；
（2）根据菱形的性质和判定定理证明即可．
【小问1详解】
证明：由题意得，．
四边形是矩形，
，，
．
点G，H分别是，的中点，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：如图，连接交于O．
四边形为菱形，
，．
在和中，
．
，
．
，且，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
t的值为，理由如下：
四边形为菱形，
．
设，则．
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
即．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，菱形的判定和性质是解题的关键．小红：
由题目的已知条件，连接，则可证明四边形是矩形．