2024-2025学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列事件中，随机事件是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6
B．我国节气“雨水”那天下雨
C．通常情况下，自来水在10℃结冰
D．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
2．（3分）在一个不透明袋子中有红球和黑球共10个球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球是红球的概率是35，则袋子中红球的个数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾B．有害垃圾C．其他垃圾D．可回收物
4．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x﹣1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x+1）2+3
5．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥侧面积为（ ）
A．30πB．15πC．20πD．6π
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且分别在AB两侧，若∠BOC＝130°，则∠ADC的大小是（ ）
A．25°B．30°C．50°D．65°
7．（3分）已知一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1，x2，式子1x1+1x2的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．−32D．32
8．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2且k≠1B．k≤2且k≠1C．k＜2D．k＞2
9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，连接AC，CD，DB，若∠BAC＝80°，则∠ACD的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
11．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为斜边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED，则下列说法错误的是（ ）
A．∠EAB＝∠C
B．△EBD是等腰直角三角形
C．CD2+AD2＝BD2
D．∠AED＝∠ABD
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），与x轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论：
①a+b+c＞0；
②若抛物线经过点（﹣1，2），则其解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
③一元二次方程ax2+bx+c+2＝0没有实数根；
④−13＜a＜0．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
13．（3分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
则可估计这种幼树移植成活率的概率约为 （结果精确到0.1）．
14．（3分）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的6.4吨/平方公里下降至2023年的3.6吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ．
15．（3分）中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为185mm，则BF的长为 mm．
16．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ s．
17．（3分）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C是⊙O上一点，与射线AD位于直径AB同侧，连接AC，若∠BAC＝∠FAC，AF＝2，AB＝4，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点P，使∠PCB+∠BAC＝90°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）3x（x﹣4）＝5（x﹣4）；
（Ⅱ）x2﹣6x﹣3＝0．
20．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴的一个交点坐标是（2，0），与y轴的交点坐标是（0，﹣2），且经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）求该抛物线解析式中a，b，c的值；
（Ⅱ）直接写出y＞0时，自变量x的取值范围．
21．（10分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（Ⅰ）填空：在抢答环节中，若答对一题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“③冬季两项”的概率是 ；
（Ⅱ）在抢答环节中，若答对两题，可从整套邮票（共4枚）中任意抽取2枚（先随机抽取1枚，不放回，再随机抽取另1枚）作为奖品．
①请用列表或画树状图的方法，列举出答对两道题奖品情况的所有可能的结果；（可用邮票名称前的标号表示邮票名称）
②依据①的图表分析，完成填空：答对两题，从整套邮票中任意抽取2枚的结果共有 种，即 （可用邮票名称前的标号表示邮票名称），且它们出现的可能性相等；恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有 种，即 ，其概率为 ．
22．（10分）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦．
（Ⅰ）如图①，半径OC⊥AB，垂足为点D，若CD＝1，求弦AB的长；
（Ⅱ）如图②，过圆上一点P作⊙O的切线MN，满足MN∥OB，过点P作PF⊥AB，垂足为F，PF与OB相交于点E，若⊙O的半径是3，求OE的长．
23．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场ABCD，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边BC靠墙（墙的长度为9m），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏EF把它分成两个面积为1：2的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为15m，设较小矩形中与墙平行的一边AE长为x m．
（Ⅰ）填空：
①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含x的代数式表示为 m；
②x的取值范围是 ；
（Ⅱ）矩形养殖场ABCD的面积能否达到12m2？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．
24．（10分）在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点M为直线AD上一动点，连接MB，以点B为旋转中心，把线段BM顺时针旋转60°，得到线段BN，连接CN．
（Ⅰ）如图①，当点M在线段AD上时，求证：AM＝CN．
（Ⅱ）如图②，当点M在线段DA的延长线上时，连接MC，AN，若∠ANC＝45°，求∠AMC的大小．
（Ⅲ）若等边△ABC的边长是6，连接DN，在点M运动过程中，直接写出线段DN的最小值．
25．（10分）如图，已知抛物线y=−12x2+bx+32（b为常数）的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及点B的坐标．
（Ⅱ）抛物线上一点M在直线BC上方，其横坐标为m，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交线段BC于点E．
①若ME＝2DE，求点M的坐标；
②连接MC，MB，求四边形OCMB面积S的最大值及此时点M的坐标．
2024-2025学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12．解：设抛物线交x轴于A，B（A在右侧），对称轴交x轴于K，画出二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如下，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的两个交点之间的距离大于4，
∴AK＞2，A表示的数大于1，
∴当x＝1时，函数值大于零，即a+b+c＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），
若抛物线经过点（﹣1，2），
则−b2a=−1c=1a−b+c=2，
解得a=−1b=−2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），
∴−b2a=−1c=1，
∴b=2ac=1，
∴抛物线解析式表示为y＝ax2+2ax+1，
当y＝﹣2时，ax2+2ax+1＝﹣2，即ax2+2ax+3＝0，
Δ＝4a2﹣12a＝4a（a﹣3），
∵a＜0，
∴Δ＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根，故③错误；
在y＝ax2+2ax+1中，令y＝0得0＝ax2+2ax+1，
设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2＝﹣2，x1•x2=1a，
∵AB＞4，
∴|x1﹣x2|＞4，
∴(x1+x2)2−4x1x2＞4，
∴4−4a＞4，
∴4−4a＞16，
∵a＜0，
∴−13＜a＜0，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个；
故选：C．
18．解：（Ⅰ）AB=22+32=13．
故答案为：13．
（Ⅱ）如图，点P即为所求．
方法：作直径EF，QT交于点O，再作直径CP，连接PB，点P即为所求．
故答案为：作直径EF，QT交于点O，再作直径CP，连接PB，点P即为所求．
解答题参考答案
19．解：（I）3x（x﹣4）＝5（x﹣4），
3x（x﹣4）﹣5（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣5）＝0，
∴x﹣4＝0或3x﹣5＝0，
∴x1=4，x2=53；
（II）x2﹣6x﹣3＝0，
x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，
（x﹣3）2＝12，
x﹣3＝±23，
∴x1=3+23，x2=3−23．
20．解：（I）由题意可知抛物线经过点（2，0），（0，﹣2），（﹣2，4），
有4a+2b+c=0c=−24a−2b+c=4，
解得a=1b=−1c=−2，
（II）由（Ⅰ）知，抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2，
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
当y＞0时，自变量x的取值范围为：x＜﹣1或x＞2．
21．解：（I）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“③冬季两项”的结果有1种，
∴恰好抽到“③冬季两项”的概率是14．
故答案为：14．
（II）①列表如下：
共有12种等可能的结果．
（II）②由表格可得，答对两题，从整套邮票中任意抽取2枚的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③，且它们出现的可能性相等；
恰好抽到“②高山滑雪”和“④自由式滑雪”的结果有2种，即②④，④②，其概率为212=16．
故答案为：12；①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③；2；②④，④②；16．
22．解：（I）∵OC⊥AB，
∴AB＝2BD．
∵∠ABO＝30°，
∴OB＝2OD．
∵OB＝OC，
∴2OD＝OD+1．
∴OD＝1，OB＝2，
在Rt△BOD中，BD=OB2−OD2=22−12=3，
∴AB=2BD=23；
（II）如图，连接OP．
∵MN切⊙O于点P，
∴OP⊥MN，即∠OPN＝90°，
∵MN∥OB，
∴∠BOP＝∠OPN＝90°．
∵PF⊥AB，
∴∠BFE＝90°．
∴∠BOP＝∠BFE．
∵∠BEF＝∠PEO，
∴∠EPO＝∠ABO＝30°，
∴PE＝2OE．
在Rt△PEO中，PE2＝PO2+OE2，即（2OE）2＝32+OE2．
∴OE=3．
23．解：（I）①设较小矩形中与墙平行的一边AE长为x m，
∵S矩形AEFB：S矩形EDCF＝1：2，
∴ED＝2AE，
∴ED＝2x，
∴AD＝3x，
∴AB＝EF＝DC=15−3x3=（5﹣x）m，
∴养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含x的代数式表示为（5﹣x）m，
故答案为：（5﹣x）；
②∵墙的长度为9m，
∴0＜3x≤9，
解得：0＜x≤3，
故答案为：0＜x≤3；
（II）能．
根据题意得：3x（5﹣x）＝12，
整理，得x2﹣5x+4＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝4，
由（I）可知，0＜x≤3，
∴x＝1，
∴矩形养殖场ABCD的面积能达到12m2，此时x的值是1m．
24．（I）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵线段BM顺时针旋转60°，得到线段BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN﹣∠MBC＝∠ABC﹣∠MBC，
∴∠CBN＝∠ABM，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN；
（II）解：同（I）可知AB＝BC，BM＝BN，∠MBN＝∠ABC＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABC﹣∠ABN，
∴∠MBA＝∠NBC．
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BAM＝∠CAM＝150°，
∴∠BCN＝∠BAM＝150°，
∴∠ACN＝∠BCN﹣∠ACB＝150°﹣60°＝90°，
∵∠ANC＝45°，
∴∠CAN＝45°，
∴∠ANC＝∠CAN，
∴AC＝CN，
∵AM＝CN，
∴AM＝AC，
∴∠AMC＝∠ACM＝15°；
（III）解：线段DN的最小值32，理由如下：
如图③，取AB的中点G，连接MG，
∵旋转角∠MBN＝60°，
∴∠MBD+∠DBN＝60°，
∵∠MBD+∠MBA＝∠ABC＝60°，
∴∠DBN＝∠GBM，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴DB=12BC，
∵BG=12AB，
∴BG＝BD，
∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBD中，
BM=BN∠GBM=∠DBNBG=BD，
∴△MBG≌△NBD（SAS），
∴MG＝ND，
根据垂线段最短，MG⊥AD时，MG最短，即DN最短，
此时∠BAD=12×60°＝30°，AG=12AB＝3，
∴MG=12AG=32，
∴DN=32．
25．解：（I）∵抛物线y=−12x2+bx+32（b为常数）的对称轴是直线x＝1，
∴−b2×(−12)=1，
解得b＝1．
∴该抛物线的解析式为y=−12x2+x+32，
当y＝0时，有−x2−2x+−12x2+x+32=0，
解得x1＝﹣1，x2＝3．
∵点A在点B左侧，
∴点B的坐标是（3，0）；
（II）①由抛物线的解析式为y=−12x2+x+32可知点C坐标为(0，32)．
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y=−12x+32．
∵抛物线上一点M在直线BC上方，其横坐标为m，
∴0＜m＜3．
∴点M的坐标为(m，−12m2+m+32)．
∵MD⊥x轴，
∴点E的坐标为(m，−12m+32)．
∴ME=−12m2+m+32−(−12m+32)=−12m2+32m．
DE=−12m+32．
∵ME＝2DE，
∴−12m2+32m＝2（−12m+32），
解得m1＝2，m2＝3．
∵0＜m＜3，
∴取m＝2，此时点M的坐标为(2，32)；
②由点B(3，0)，C(0，32)可知OB=3，OC=32．
∴S=S△BCO+S△BCM=12⋅OB⋅OC+12⋅ME⋅OD+12⋅ME⋅DB．
由①知ME=−12m2+32m，OD+DB=3．
∴S=12×3×32+12×(−12m2+32m)×3=−34m2+94m+94=−34(m−32)2+6316．
∴当m=32时，四边形OCMB面积S最大，S的最大值是6316，此时点M的坐标为(32，158)．移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率nm（结果保留小数点后三位）
0.800
0.870
0.883
0.890
0.909
0.899
0.902
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
B
A
D
A
A
D
C
C
13. 0.9 14.25% 15. 315mm 16.2 17.23π
18．13 作直径EF，QT交于点O，再作直径CP，连接PB，点P即为所求
①
②
③
④
①
（①，②）
（①，③）
（①，④）
②
（②，①）
（②，③）
（②，④）
③
（③，①）
（③，②）
（③，④）
④
（④，①）
（④，②）
（④，③）