天津市西青区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

这是一份天津市西青区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2－3x＋2＝0B．x2－xy＝2
C．x2＋1x＝2D．2（x－1）＝x
2．抛物线y＝2（x－1）2＋6的顶点坐标是（ ）
A．（1，－6）B．（－1，－6）
C．（1，6）D．（－1，6）
3．若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是（ ）
A．6B．5C．2D．-6
4．将抛物线y＝－3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y＝－3（x－2）2－1B．y＝－3（x－2）2＋1
C．y＝－3（x＋2）2－1D．y＝－3（x＋2）2＋1
5．对抛物线：y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，－2）
6．二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a＋b＋1的值是（ ）
A．－3B．－1C．2D．3
7．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x＋1）2＝0B．（x－1）2＝0
C．（x＋1）2＝2D．（x－1）2＝2
8．关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞9B．k＜9C．0＜k＜9D．k＜9且k≠0
9．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．(−12，32)B．(−1，12)C．(−32，32)D．(−32，12)
10． 2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A．（1＋n）2＝931B．n（n－1）＝931
C．1＋n＋n2＝931D．n＋n2＝931
11．如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为26米，则水面下降（ ）米．
A．1米B．2米C．3米D．10米
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a－b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 。其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④B．②③C．①④D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．方程x2＝2的根是 ．
14．若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为 （x＞0）．
15．已知x1、x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则x1+x2的值是 ．．
16．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线 ．
17．如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线y=−110(x−5)2+3.6，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝ 米．
18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19． 用适当的方法解下列方程
（1）（x＋3）2＝2x＋6；
（2）x2＋5x＋7＝3x＋11
20． 青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答）
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．
（1）用含x的代数式表示：
①2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
②2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（2）根据题意，列出相应方程 ；
（3）解这个方程，得 ；
（4）检验： ；
（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %．
21． 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元．
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
22． 如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2
（1）S与x的函数关系式为S＝ ，其中x的取值范围是 ；
（2）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
23． 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）该二次函数解析式为 ，m＝ ，n＝ ；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
（3）根据图象直接写出下列问题：
①当x＝ 时，y有最值 （填“大”或“小”）是 ．
②若该二次函数图象上有两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)满足2③当ax2＋bx＋c＞n时，x的取值范围是 ．
④当－2＜x＜4时，则y的取值范围是 ．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（1）如图①，若α＝90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α＝45°，求点O′的坐标．
25． 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
（1）求这个二次函数的解折式；
（2）求当－2≤x≤6时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2－m）x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】 解：A、x2－3x＋2＝0是一元二次方程，A符合题意；
B：x2－xy＝2有两个未知数，不是一元二次方程，B不符合题意；
C：x2＋1x＝2，是分式方程，不是一元二次方程，C不符合题意；
D：2（x－1）＝x，是一元一次方程，不是一元二次方程，D不符合题意
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义，进行判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】 解： 抛物线y＝2（x－1）2＋6的顶点坐标 （1，6）.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的顶点式，直接可以得出其顶点坐标.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】把x=2代入方程得：4-2m+8=0，
解得m=6．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】 解： 将抛物线y＝－3x2向左平移2个单位，
得y=−3x+22，
再向下平移1个单位，
得y=−3x+22−1.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】 解：A、y＝-x2＋2x-3 ，∆=22−4×−1×−3=4−12=−8＜0，所以抛物线与x轴无交点，A不符合题意；
B、y＝-x2＋2x-3 ，a＜0，抛物线开口向下，B不符合题意；
C、y＝-x2＋2x-3 ，令x=0，y=-3，抛物线与y轴的交点坐标是（0，-3），C不符合题意；
D、y＝-x2＋2x-3=−x2−2x+1−1−3=−x−12−2，所以抛物线的顶点坐标是（1，－2），D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据b2-4ac的正负可确定抛物线与x轴的交点，B、由二次项的系数的正负就可确定抛物线的开口方向，C、令x=0就可得到拋物线与y轴的交点坐标，D、将抛物线解析式配成顶点式就可得到顶点的坐标.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 解： ∵二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴点（1，1）代入y＝ax2＋bx－1得，
a+b-1=1，
∴a+b=2，
∴a+b+1=3.
故答案为：D.
【分析】把点（1，1）代入y＝ax2＋bx－1得a+b的值，再代入所求代数式即可求解.
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：x2－2x－1＝0，
x2－2x＝1，
x2－2x+1＝1+1，
(x-1)2＝2.
故答案为：D.
【分析】常数项移到右边，再根据完全平方配上一次项系数一半的平方即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解： ∵一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴∆=36−4k>0，且k≠0，
∴k＜9且k≠0.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据根的判别式的意义得到∆=36-4k>0，解不等式即可.
9．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】 解：如图，
∵A点坐标（1，0），△OAB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=1，∠AOB=60°，
将△OAB绕点O逆时针旋转60°得△OBB'，
∴△OBB'是等边三角形，
∵∠BOC=30°，
∴OC⊥BB'，
在Rt△OB'C中，
OB'=1，B'C=12，
∴OC=12−122=32，
∴B'−12，32.
故答案为：A.
【分析】将△OAB绕点O逆时针旋转60°得△OBB'，得△OBB'是等边三角形，从而证明OC⊥BB'，在Rt△OB'C中，根据勾股定理，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】 解：根据题意得， 1＋n＋n2＝931 .
故答案为：C.
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可.
11．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】 解：如图，以桥拱的顶点为原点建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y=ax2，
由题意得点B的坐标为（2，-2），
代入y=ax2得，−2=a×22，
解得，a=−12，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2，
假设CD的水面宽为26米，
∴xD=6，
代入y=−12x2得，
yD=−12×62=−3，
所以，水面下降了−3−−2=1米.
故答案为：A.
【分析】以桥拱的顶点为原点建立直角坐标系，利用待定系数法求得抛物线的解析式，由题意得点D的横坐标，代入抛物线求得其纵坐标，即可求解.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。
【解答】①当x=1时，y=a+b+c>0，故本选项错误；
②当x=-1时，图象与x轴交点负半轴明显大于-1，∴y=a-b+c＜0，故本选项正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴为1＞x=-b2a＞0，
∴2a+b＜0，
故本选项正确；
④对称轴为x=-b2a＞0，
∴a、b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
∴正确结论的序号为②③．
故选B.
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=-1时，可以确定y=a-b+c的值。
13．【答案】±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解： 方程x2＝2的根是±2.
故答案为：±2 .
【分析】直接开平方即可求解.
14．【答案】y＝x2
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】 解： 若正方形的边长为x，面积为y，
则y与x之间的关系式为y＝x2 .
故答案为： y＝x2 .
【分析】根据正方形的面积公式即可求解.
15．【答案】－2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 解：∵x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，
∴x1+x2=−21=−2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
16．【答案】x＝1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】 解： ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=−1+32=1.
故答案为：x=1.
【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标，根据抛物线的对称性即可求解.
17．【答案】11
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】 解：把y=0代入抛物线y=−110(x−5)2+3.6，
−110(x−5)2+3.6=0，
−110(x−5)2=−3.6，
(x−5)2=36
x−5=±6
解得，x1=11，x2=−1（舍去），
∴该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝11米.
故答案为：11.
【分析】把y=0代入抛物线解析式得关于x的方程，解方程即可求解.
18．【答案】154
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接EG，
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴AE=AF，DE=BF，
∵AG⊥EF，
∴EH=FH
则EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，
Rt△CEG中，x2+22=(8-x)2
解得：x=154
故答案为：154.
【分析】连接EG，由垂直平分线的性质，可得EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，在Rt△CEG中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
19．【答案】（1）解：（x＋3）2＝2（x＋3），
∴（x＋3（x＋1）＝0，
∴x＋3＝0或x＋1＝0，
所以x1=−3，x2=−1；
（2）解：x2＋2x－4＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝－4，
∵Δ=4+16=20>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−2±202=−1±5，
解得：x1=−1+5，x2=−1−5．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可.
（2）利用公式法解一元二次方程即可.​​​​​
20．【答案】（1）8000（1＋x）；8000（1＋x）2
（2）8000（1＋x）2＝9680
（3）x1=0.1，x2=−2.1
（4）x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；
（5）10
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：（1）①∵2007年平均每公顷产8000kg，
水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
∴2008年种的水稻平均每公顷的产量为：8000(1+x)，
②2009年种的水稻平均每公顷的产量为：8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)2.
故答案为：①8000(1+x)；8000(1+x)2.
（2）∵2009年平均每公顷产9680kg，
∴根据题意，列出相应方程：
8000(1+x)2=9680.
故答案为：8000(1+x)2=9680.
（3）8000(1+x)2=9680
(1+x)2=1.21，
1+x=±1.1，
∴x1=0.1，x2=-2.1.
故答案为：x1=0.1，x2=-2.1.
（4） 检验 ： x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1.
故答案为： x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1.
（5） 答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10.
【分析】解此类题时，先将百分率设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示每年的产量，再解方程求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.
21．【答案】（1）3x；（60－x）
（2）解：根据题意得：（30＋3x）（60－x）＝3600，
解得x1=20，x2=30，
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280-x-220=(60-x)元.
故答案为：3x；(60-x).
【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润.
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，从而列出关于x的一元二次方程，解方程并取其较大值即可得出结论.
22．【答案】（1）－2x2＋20x ；5≤x＜10
（2）解：∵S＝－2x2＋20x＝－2（x－5）2＋50，
∴当x＝5时，S最大是50，
此时20－2x＝10，
答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵AD=BC=x m， 篱笆总长20m，
∴AB=(20-2x)m，
又∵墙长10米，
∴20-2x≤10，
解得x≥5，
∴5≤x<10，
∴S=x(20-2x)=-2x2+20x(5≤x<10).
故答案为：-2x2+20x；5≤x<10.
【分析】（1）由AD=BC=xm，根据总篱笆长，可得出AB=(20-2x)m，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，最后根据矩形的面积公式求出S关于x的函数关系式；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，即可求出矩形场地面积的最大值，并得到长与宽.
23．【答案】（1）y=−12x2+2x+6 ；8 ；6
（2）解：描点、连线画出函数图象如图：
（3）2；大；8；＞；0＜x＜4；0【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）把点(-2，0)，(0，6)，(6，0)代入y=ax2+bx+c得，
4a−2b+c=0c=636a+6b+c=0
解得，a=−12b=2c=6
∴该二次函数解析式为 y=−12x2+2x+6，
把(2，m)代入得，m=−12×22+2×2+6=8，
把(4，n)代入得，n=−12×42+2×4+6=6，
故答案为：y=−12x2+2x+6；8；6.
（3）观察函数的图象，
①当x=2时，y有最大值是8；
②若该二次函数图象上有两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 满足2y2；
③当ax2+bx+c>n时，x的取值范围是0④当-2故答案为：①2，大，8；②>；③0【分析】（1）根据待定系数法求解析式的方法步骤即可求解函数的解析式，进而利用解析式即可求得m、n的值；
（2）根据表格中的五个点的坐标，利用五点画出函数的图象即可；
（3）根据图象即可得出结论.
24．【答案】（1）解：∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB=OA2+OB2=32+42=5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90∘，得△A′BO′，
∴∠ABA′=90∘，AB=A′B=5，
∴AA′=AB2+A′B2=52+52=52；
（2）解：如图②，若α=45∘，则∠CBO′=90∘，过点O′作O′C⊥OB于点C，
则∠CO′B=90∘，
∴BC=CO′，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A′BO′，
∴OB=OB′=4，
∴BC=CO′=4×22=22，
∴OC=OB−BC=4−22，
∴O′(22，4−22)．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'=90°，AB=A'B=5，再在Rt△AA'B中，由勾股定理可得出答案；
（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，从而求出点O'的坐标.
25．【答案】（1）解：由二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（3，0）．
∴y＝（x＋1）（x－3），
∴此二次函数的表达式为y＝x2－2x－3；
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+32=1，
∴在−2≤x≤6范围内，当x＝6，函数有最大值为：y=36−2×6−3=21；当x＝1时函数有最小值：y=1−2×1−3=−4，
∴y的最大值与最小值的差为：21－（－4）＝25；
（3）解：y＝（2－m）x＋2－m与二次函数y＝x2－2x－3图象交点的横坐标为a和b，
∴x2－2x－3＝（2－m）x＋2－m，整理得x2＋（m－4）x＋m－5＝0，
解得：x1=−1，x2=5−m，
∵a＜3＜b，
∴a＝－1，b＝5－m＞3，
解得m＜2，即m的取值范围是m＜2 ．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数的图象经过(-1，0)和(3，0)两点，根据抛物线的交点式即可求得二次函数的表达式；
（2）首先根据解析式求得抛物线的对称轴，根据图象结合二次函数的性质，即可得出当x=6，函数有最大值21，当x= 1时函数有最小值-4，进而求得 最大值与最小值的差；
（3）由题意得方程x2-2x-3=(2-m)x+2-m，解方程求得x1=-1，x2=5-m，根据题意得到5-m>3，解不等式得m的取值范围.x
…
－2
0
2
4
6
…
y＝ax2＋bx＋c
…
0
6
m
n
0
…