天津市西青区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年天津市西青区九年级（上）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列事件中，是随机事件的为

A. 一个三角形的外角和是
B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为
C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D. 明天太阳从西方升起

2. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是

A.  B.  C.  D.

3. 下列图案中，可以看作中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各数是方程的根的是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 如图，为等边外接圆，点是上一点，连接，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，是的半径，弦，垂足为连接若，，则的半径长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知点，，是上三点，半径，，切线交延长线于点，则长为

A.
B.
C.
D.

8. 据某市交通部门统计，年底全市汽车拥有量为万辆，而到年底，全市的汽车拥有量已达万辆，求年底至年底该市汽车拥有量的年平均增长率，若设年底至年底该市汽车拥有量的年平均增长率为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

9. 如图，内切于，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，的斜边，一条直角边，以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为

A.
B.
C.
D.

11. 某种商品每件的进价为元，在某时间段内若以每件元出售，可卖出件．若想获得最大利润，则定价应为

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

12. 已知抛物线为常数，经过点，其对称轴为直线，有下列结论：；；；若，则；关于的方程有两个不等的实数根；若与是此抛物线上两点，则其中，正确结论的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______精确到

14. 若，是方程的两个根，则的值为______．
15. 若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是______．
16. 如图，六边形是半径为的圆内接正六边形，则的长为______．
    
    
     

17. 如图，已知内接于，是的直径，于点半径，连接，，且点若，则______．
    
     

18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均在格点上，，经过，，三点的圆的半径为．
    Ⅰ线段的长等于______；
    Ⅱ请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点使其满足，并简要说明点的位置是如何找到的______不要求证明．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 解下列方程．
    Ⅰ；
    Ⅱ．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）

20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
    Ⅰ求这个二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
    Ⅱ平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接说出平移的方向和距离．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成个扇形，分别标有，，三个数字．小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数指针指在分界线时取指针右侧扇形的数．
    Ⅰ小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是______；
    Ⅱ请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是正数的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知是的直径，为的切线，切点为过上的点作，交点连接，．
    Ⅰ如图，若为的切线，切点为求和的大小；
    Ⅱ如图，当与交于点时，连接若，求和的大小．
     

23. 如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，设垂直于墙的一边为，矩形场地的面积为．
    Ⅰ与的函数关系式为______，其中的取值范围是______；
    Ⅱ若矩形场地的面积为，求矩形场地的长与宽；
    Ⅲ当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 在等腰直角三角形中，，点，分别为，中点，是线段上一动点不与点，重合，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接，．
    Ⅰ如图，证明：≌．
    Ⅱ如图，连接，，交于点．
    证明：在点的运动过程中，总有．
    若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出的长度．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
    Ⅰ求的值及，两点坐标；
    Ⅱ是第一象限内抛物线上的一点，过点作轴于点，交于点．
    当线段的长取最大值时，求点的坐标；
    连接，当线段时，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、一个三角形的外角和是，是必然事件，故A不符合题意；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为，是随机事件，故B符合题意；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件，故C不符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是必然事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件，三角形的外角性质判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】
解：袋子中一共有个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有个，
摸出的小球是红球的概率是，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．根据中心对称图形的概念和各图特点即可解答．
【解答】

解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，故此选项错误；．
故选：．
 

4.【答案】
 

【解析】解：方程，
分解因式得：，
所以或，
解得：或．
故选：．
利用因式分解法求出方程的解，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：为等边三角形，
，
，
，
．
故选：．
先根据等边三角形的性质得到，则可计算出，再根据圆周角定理得到，然后计算即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了等边三角形的性质和圆周角定理．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接，，

，垂足为，，
，，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
即的半径长为，
故选：．
连接，，由垂径定理可求解的长，，利用勾股定理可求解的长，再根据勾股定理可求解的长即可求解．
本题主要考查垂径定理，勾股定理，灵利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，
由圆周角定理得：，
为的切线，
，
在中，，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、特殊角的三角函数值，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为．
根据题意，得，
故选：．
设年平均增长率，根据等量关系“年底汽车拥有量年底汽车拥有量年平均增长率”列出一元二次方程求得．
本题考查了一元二次方程的实际应用--增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，增长率为，则经过两次变化后的数量关系为当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”．
 

9.【答案】
 

【解析】解：内切于，
，分别平分，，，
，
．
故选：．
根据内切于，可得，分别平分，，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形内切圆与内心是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：圆锥的表面积
故选：．
根据圆锥的全面积侧面积底面积计算．
本题考查了圆锥的全面积公式的运用；掌握圆锥的全面积：是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设最大利润为元，
则，
，，
当时，二次函数有最大值，
定价是元时，利润最大．
故选：．
本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意对称轴为直线，

，
，
即，
故正确；
抛物线为常数，经过点，
，
，
，
，
故错误；
当时，，
，
，
故错误；
由对称得：抛物线与轴交点为，，
，则，
故正确；
当时，关于的方程有两个不等的实数根，
关于的方程有两个不等的实数根；
故正确；
，，
．
故正确．
综上，正确的结论是．
故选：．
根据对称轴为直线可判断正确；将代入中可判断；根据，抛物线图象经过点，可知，可判断；根据图象可直接判断和；根据增减性可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，增减性，对称轴，抛物线与轴的交点，应数形结合、充分掌握二次函数各系数、、的意义以及对图象的影响和对一元二次方程根个数的关系．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由合格品的频率都在上下波动，
所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是，
故答案为：．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，是方程的两个根，
．
故答案为：．
利用根与系数关系求出两根之积即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象与轴有两个公共点，
，
解得，
故答案为：．
根据二次函数的图象与轴有两个公共点，得，列不等式，解出即可．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与轴的交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：为正六边形，
，
是等边三角形，
，
弧的长为．
故答案为：．
连接、，求出圆心角的度数，再利用弧长公式解答即可；
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．
 

17.【答案】
 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为的中位线，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据圆周角定理得到，再利用圆周角定理得到，所以，接着证明，利用垂径定理得到，所以，利用勾股定理得到，解得，
从而得到的长度．
本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了垂径定理．
 

18.【答案】  设圆心为，连接，，取格点，延长交的延长线于点，点即为所求
 

【解析】解：Ⅰ如图，，
故答案为：；

Ⅱ如图，点即为所求．
故答案为：设圆心为，连接，，取格点，延长交的延长线于点，点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ设圆心为，连接，，取格点，延长交的延长线于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：Ⅰ，
，
，
或，
所以，；

Ⅱ，
，
，
，．
 

【解析】Ⅰ先移项，使方程的右边化为零，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，得到两个关于的一元一次方程，进一步求解即可；
Ⅱ利用公式法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了公式法解一元二次方程．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意得，，
解得：，
所以，此二次函数的解析式为；
，
顶点为；
Ⅱ顶点为，
抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，使其顶点恰好落在原点的位置上．
 

【解析】Ⅰ把点、的坐标代入函数解析式计算求出、的值，即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
Ⅱ根据顶点坐标即可得出平移的方向和距离．
本题考查了了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：转盘被平均分为份，共有种可能出现的结果，其中是正数的只有种，
所以小王转动一次转盘指针指向正数所在扇形的概率是，
故答案为：；
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中两次之和为正数的有种，
所以两数之和是正数的概率为．
转盘被平均分为份，共有种可能出现的结果，其中是正数的只有种，可求出答案；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：Ⅰ是的直径，为的切线，切点为，
，
，
为的切线，切点为，
，
，
，
，
；

Ⅱ是的直径，为的切线，切点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
 

【解析】Ⅰ根据是的直径，为的切线，切点为，可得，根据为的切线，切点为，可得，所以得三角形是等腰直角三角形，进而求出和的大小；
Ⅱ根据是的直径，为的切线，切点为，可得，根据，可得，根据圆内接四边形对角互补可得，根据是的直径，可得，进而求得和的大小．
本题考查了切线的性质、圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：，
．
又墙长米，
，
．
．
故答案为：，；
当矩形场地的面积为时，，
解得：不合题意，舍去，，
．
答：矩形的长为米，宽为米；
，
当时，最大是，
此时，
答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是，宽是，矩形场地面积的最大值是．
由，可得出，由墙长米，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出关于的函数关系式；
根据矩形场地的面积，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．
本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：利用矩形的面积公式，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

24.【答案】Ⅰ证明：，
，
即，
在和中，
，
≌；
Ⅱ证明：点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理Ⅰ得，
≌，
，
；
解：由题意得：，
，
如图，

当时，，
，，
，
，
，
如图，

当时，
，，
∽，
，
，
当时，，
，
此时点和点重合，不符合题意，
综上所述：或时，是等腰三角形．
 

【解析】Ⅰ由：推出，进一步命题得证；
Ⅱ证明≌，进一步可得结果；
分为，此时，进而求得结果；当时，推出，从而求得结果；当时，点的点重合，不合题意．
本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，找出条件．
 

25.【答案】解：Ⅰ对称轴是直线，
故，
解得，
故抛物线的表达式为，
令，即，
解得或，
，
令，得，
；

Ⅱ设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
当线段的长取最大值时，，
；
由知，直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
当线段时，则点在的中垂线上，即，
即，
解得舍去或，
故点的坐标为
 

【解析】Ⅰ根据题意列方程求得，于是得到抛物线的表达式为，解方程即可得到结论；
Ⅱ设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可得到结论；
由知，直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，根据题意列方程即可得到结论．
主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．