2024-2025学年河北省邢台市任泽区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省邢台市任泽区九年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1B．3C．﹣1D．±3
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5
4．（3分）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ）度．
A．60B．120C．180D．270
5．（3分）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
6．（3分）已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3
7．（3分）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（ ）
A．16πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．25πcm2
8．（3分）若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．68°
10．（3分）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A．1.25mB．1.3mC．1.4mD．1.45m
11．（3分）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：
①bc＞0；
②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；
③3a+c＜0；
④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程 ．
14．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝ ．
15．（3分）如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE＝2，AE＝7，则CD的长是 ．
16．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t−32t2．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（4）在x轴上找一点P，使PA+PB最短，直接写出P点坐标．
19．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
（1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 m；
（2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）直接写出该二次函数图象的对称轴是 ；
（2）请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象；
（3）根据图象回答下列问题：
①当y＞﹣3时，x的取值范围为 ；
②当0＜x＜3时，y的取值范围为： ；
③当x＜k（k是常数）时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ．
21．如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由．
（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，其顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．
23．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE'的位置，然后证明△AFE≌△AFE'，从而可得EF＝E'F．E'F＝E'D+DF＝BE+DF，从而使问题得证．
【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF=12∠BAD，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．
【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，∠EAF=12∠BAD，求证：EF＝BE+DF．
【知识迁移】如图4，四边形ABPC是⊙O的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB+PC与AP的关系．
24．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y=−12x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
2024-2025学年河北省邢台市任泽区九年级（上）期中数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12．解：由图象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴bc＜0，故①错误，不符合题意；
当x＝﹣1时，该函数取得最大值，故am2+bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），即am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），故②正确，符合题意；
∵该函数的对称轴为−b2a=−1，
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确，符合题意；
∵M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，
∴x1+x2＝﹣2＞﹣3，故④错误，不符合题意；
故选：B．
15．解：如图1，
∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝DC，
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB＝60°，∠DCB+∠BCE＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CBE和△CAD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=DC，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD，
∵BE＝2，AE＝7，
∴BE＝AD＝2，
∴DE＝AE﹣AD＝7﹣2＝5，
∴CD＝5；
如图2，
同理证得△CBE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BE＝2，AE＝7，
∴BE＝AD＝2，
∴DE＝AE+AD＝7+2＝9，
综上，CD的长为5或9，
故答案为：5或9．
16．解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案为：24．
解答题参考答案
17．（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）
＝k2+8k+16﹣8k﹣16
＝k2，
∵k2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）
＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4
＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4
＝2k+4﹣2（k+4）+4
＝2k+4﹣2k﹣8+4
＝0．
18．解：（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心Q的坐标（1.5，﹣1）；
（4）如图，点P即为所求，P点坐标（﹣2，0）．
19．解：（1）由题意可知，BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m），
故答案为：（72﹣3x）；
（2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，
由题意得：x（72﹣3x）＝285，
整理得：x2﹣24x+95＝0，
解得：x1＝5，x2＝19（不符合题意，舍去），
∴72﹣3x＝72﹣3×5＝57，
答：自行车车棚的长为57m，宽为5m；
（3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下：
设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，
由题意得：y（72﹣3y）＝450，
整理得：y2﹣24y+150＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为450m2的自行车车棚．
20．解：（1）∵二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为直线x=−−22×1=1，
故答案为：直线x＝1；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣3＝0，
当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
列表：
如图：
（3）①由函数图象可知，当y＞﹣3时，x的取值范围为x＜0或x＞2，
故答案为：x＜0或x＞2；
②由函数图象可知，当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0；
③对称轴为直线x＝1，
∴在对称轴左边，y随x的增大而减小，
∵当x＜k（k是常数）时，y随x的增大而减小，
∴k≤1，
故答案为：k≤1．
21．解：（1）如图所示，连接OD，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的长是圆心O到EF的距离，
∵AB＝90cm，
∴OD=12AB=45cm．
（2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴(2OD)2−OD2=(63)2，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，
∴S△AOD=12×63×3=93，
∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×62360+93=6π+93．
22．解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
由题意得：4a+k=−3a+k=0，
解得：a=−1k=1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；
（2）设AB的解析式为：y＝mx﹣3，
则：0＝3m﹣3，
解得：m＝1，
∴AB的解析式为：y＝x﹣3，
∴点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴，
设点P（x，﹣x2+4x﹣3），（0＜x＜3），
则D（x，x﹣3），
∴PD＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，
∴当x＝1.5时，PD有最大值，为2.25，
此时P（1.5，0.75）．
23．【探究】解：BE+DF＝EF．理由如下：
如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E'的位置，
∴△ABE≌△ADE′，
∴BE＝DE'，AE＝AE′，∠BAE＝∠DAE′，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD，
∴∠DAE′+∠DAF=12BAD，
∴∠FAE′=12∠BAD，
∴∠EAF＝∠FAE'．
∵AF＝AF，
∴△FAE′≌△FAE（SAS），
∴EF＝EF'，
∵E′D+DF＝E′F，
∴BE+DF＝EF；
【应用】证明：∵AB＝AD，
如图3，将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点E'的位置，
由旋转可知：△ABE≌△ADE′，
∴BE＝DE'，∠B＝∠ADE'，∠BAE＝∠DAE'，AE＝AE'．
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴点C，D，E'在同一条直线上．
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD，
∴∠DAE′+∠DAF=12BAD，
∴∠FAE′=12∠BAD，
∴∠EAF＝∠FAE'．
∵AF＝AF，
∴△FAE′≌△FAE（SAS），
∴FE＝FE'，
∴BE+DF＝EF；
【知识迁移】解：PB+PC=2PA．理由如下：
如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，使得AB与AC重合，易得点P，C，P'在同一直线上．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BPC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
由旋转可知：BP＝CP'，AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′=2PA，
∴PB+PC=2PA．
24．解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a=−115．
∵y=−12x+b经过点（9，3.6），
∴3.6=−12×9+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：y=−115x2+x
=−115（x2﹣15x+2254）+154
=−115（x−152）2+154（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是154km．
∴154−1.35＝2.4（km）．
∴2.4=−115x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：y=−12x+8.1．
∴2.4=−12x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴y=−12x+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴−12×9+b=81a+9−12×15+b=0．
解得：a=−227b=7.5．
∴−227＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．x
﹣1
0
1
2
3
y

﹣3
﹣4

0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
B
D
B
B
C
B
D
B
13. 560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850 14. 20° 15. 5或9 16.24
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
﹣3
﹣4
﹣3
0