教科版 (2019)必修 第二册匀速圆周运动的向心力和向心加速度优质导学案

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▉题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面）
【知识点的认识】
1.定义：做匀速圆周圆周的物体所受的指向圆心的力。
2.作用效果：不改变速度的大小，只改变速度的方向。
3．大小：Fn＝man＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r。
4．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
5．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，因此向心力的来源要根据物体受力的实际情况判定。
注意：向心力是一种效果力，受力分析时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。
（多选）1．关于向心力的说法正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体所受的合力即为其向心力
D．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是不变的
▉题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
【知识点的认识】
1.向心力的表达式为：Fn＝man＝mω2r＝mv2r=m4π2rT2
2.由表达式可以看出：
（1）在其他因素不变时，向心力与质量成正比；
（2）在质量和半径不变时，向心力与角速度的平方成正比，与线速度的平方成正比，与周期的平方成反比；
（3）在质量和角速度不变时，向心力与半径成正比；
（4）在质量和线速度不变时，向心力与半径成反比；
（5）在质量和周期不变时，向心力与半径成正比。
2．在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，如图所示，当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力不变
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力和摩擦力都减小
D．物体所受弹力减小，摩擦力增大
（多选）3．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的拉力可能为零
B．桶对物块的弹力可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
▉题型3 通过受力分析求解向心力
【知识点的认识】
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，甚至可以由一个力的分力提供，由此可以得到向心力的一种求解方法：受力分析法。如果物体在做圆周运动，通过对物体受力分析，得到沿半径方向的力即为物体所受的向心力。
4．质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则（ ）
A．csα=csβ2B．csα＝2csβ
C．tanα=tanβ2D．tanα＝tanβ
▉题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
【知识点的认识】
圆周运动的过程符合牛顿第二定律，表达式Fn＝man＝mω2r＝mv2r=m4π2rT2也是牛顿第二定律的变形，因此可以将牛顿第二定律与向心力结合起来求解圆周运动的相关问题。
5．辽宁舰质量m＝6×107kg，它在海上转弯的照片如图所示，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动（g取10m/s2），速度大小为20m/s，圆周运动的半径为1000m，下列说法中正确的是（ ）
A．在A点时水对舰的合力指向圆心
B．在A点时水对舰的合力大小约为6.0×108N
C．在A点时水对舰的合力大小约为2.4×107N
D．在A点时水对舰的合力大小为0
6．如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动，卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点，细管内有一根原长为l2、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动，若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内，要使卷轴转动不停止，v的最大值为（ ）
A．rk2mB．lk2mC．r2kmD．l2km
7．一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O孔光滑），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是（g取10m/s2，M、m均视为质点）（ ）
A．0.04mB．0.06mC．0.16mD．0.50m
9．如图甲所示，在问天实验舱中的变重力科学实验柜，可为科学实验提供零重力到两倍重力范围的高精度模拟重力环境，用以研究不同重力环境下的科学现象。变重力科学实验柜的主要装置是如图乙所示的两套离心机。离心机旋转过程中，由于惯性作用，实验载荷会有沿着旋转半径向外飞出的趋势，可以等效为物体在圆周运动中受到一个与向心力等大反向的“离心力”，而这个“离心力”就可以用来模拟物体受到的重力。某次实验中，需要给距离圆心450mm的实验载荷模拟2g的重力环境（g取9.8m/s2），则离心机的转速最接近以下哪个值（ ）
A．0.1r/sB．1r/sC．10r/sD．100r/s
10．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，质量分别为m1、m2的两个小球A和B紧贴着内壁分别在图示的水平面内做匀速圆周运动。若m1＞m2，则（ ）
A．球A的角速度大于球B的角速度
B．球A的角速度小于球B的角速度
C．球A的向心力小于球B的向心力
D．球A的向心力等于球B的向心力
11．两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动的线速度大小相等
B．运动的角速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．向心力大小相等
12．如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是（ ）
A．在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力
B．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
C．汽车对桥面的压力等于汽车的重力
D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力
13．如图所示为“感受向心力”的实验，用一根轻绳，一端拴着一个小球，在光滑桌面上抡动细绳，使小球做圆周运动，通过拉力来感受向心力。下列说法正确的是（ ）
A．只减小旋转角速度，拉力增大
B．只加快旋转速度，拉力减小
C．只更换一个质量较大的小球，拉力增大
D．突然放开绳子，小球仍做曲线运动
14．如图所示，物块A随水平圆盘一起匀速转动，不计空气阻力，则物块所受力的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
15．一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为（ ）
A．μmgB．μMmv2RC．μm（g+v2R）D．μm（g−v2R）
16．下列说法正确的是（ ）
A．做曲线运动的物体，受到的合外力一定不为零
B．物体受到的合外力方向变化，一定做曲线运动
C．两个互成角度的直线运动的合运动一定是直线运动
D．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动
17．如图所示的装置叫做圆锥摆，用细绳悬挂的小球在水平面上做匀速圆周运动．如果圆锥摆悬绳与竖直方向的夹角为θ，悬线长为l，小球质量为m，则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B．细绳的拉力为mgtanθ
C．向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtanθ
D．小球所受合力为恒力
18．如图所示，用长为L的细线控住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ＝30°角，重力加速度为g。则（ ）
A．小球受到3个力的作用
B．绳子的拉力等于2mg
C．小球做圆周运动的向心力等于33mg
D．小球做圆周运动的角速度等于23g3L
（多选）19．如图甲所示，一水平放置的内表面光滑对称“V”形二面体AB﹣CD﹣EF，可绕其竖直中心轴OO'在水平面内匀速转动，其二面角为120°，截面图如图乙所示。面ABCD和面CDEF的长和宽均为L＝20cm。置于AB中点P的小物体（视为质点）恰好在ABCD面上没有相对滑动，取重力加速度g＝10m/s2。（ ）
A．“V”形二面体匀速转动的角速度ω＝5rad/s
B．“V”形二面体匀速转动的角速度ω=1033rad/s
C．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离2.5cm
D．若“V”形二面体突然停止转动，小物体从二面体上离开的位置距离AB边距离5cm
（多选）20．如图所示，两相同木块A和B放在水平转盘上，二者用长为3L的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为L，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的k倍，重力加速度为g。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴O1O2转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度ω由零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．当ω=kgL时，绳上开始产生张力
B．当0≤ω＜kgL时，A所受的摩擦力为零
C．当ω=2kgL时，A、B相对转盘开始滑动
D．从转盘开始转动到A、B相对转盘开始滑动，A的摩擦力先增大后减小，再增大
（多选）21．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．A的线速度比B的大
B．A的向心加速度比B的小
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
（多选）22．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转。甲、乙两个小物块（可视为质点）质量均为m，分别在转台的A、B两处随陶罐一起转动且始终相对罐壁静止，OA、OB与OO′间的夹角分别为a＝30°和β＝60°，重力加速度大小为g。当转台的角速度为ω0时，小物块乙受到的摩擦力恰好为零，下列说法正确的是（ ）
A．ω0=gR
B．当转台的角速度为ω0时，甲有上滑的趋势
C．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的摩擦力一直增大
D．当角速度从0.5ω0缓慢增加到1.5ω0的过程中，甲受到的支持力一直增大
（多选）23．双人花样滑冰比赛是一项极具观赏性的项目。比赛中，女运动员有时会被男运动员拉着离开冰面在空中做水平面内的匀速圆周运动，如图所示。此时，通过目测估计男运动员的手臂与水平冰面的夹角约为45°，女运动员与其身上的装备总质量约为45kg，重力加速度g取10m/s2。仅根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．女运动员速度不变
B．男运动员对女运动员的拉力约为450N
C．女运动员旋转的向心加速度大小约为10m/s2
D．若女运动员做匀速圆周运动的半径r＝1m，其转动的角速度大小ω约为10rad/s
（多选）24．关于下列四幅图的说法，正确的是（ ）
A．甲图中的汽车在过最高点时处于失重状态
B．乙图中的两个小球A，B的角速度相同
C．丙图中的直筒洗衣机脱水时，被用出去的水滴受到离心力作用
D．如图丁，火车转弯速度小于规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用
（多选）25．用一根细线一端系一可视为质点的小球，小球质量为m，另一端固定在一光滑锥顶上，如左图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线长为L，线的张力为FT，FT随ω2变化的图像如右图所示。（ ）
A．当0＜ω＜ω0时斜率k1＝mL（sinθ）2
B．当ω0＜ω时斜率k2＝mLsinθ
C．右图与纵轴的交点为mgcsθ
D．小球一定受到圆锥的弹力
（多选）26．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转动，角速度缓慢增大，直到两物体与圆盘刚要发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（ ）
A．角速度增大的过程中，物块m受到的摩擦力先增加后不变
B．角速度增大的过程中，物块M始终不受摩擦力
C．圆盘旋转的角速度最大不得超过μ(Mg+mg)ML
D．圆盘旋转的角速度最大不得超过μ(Mg+mg)mL
27．用如图所示的向心力演示器探究向心力的表达式，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1．
（1）在这个实验中，利用了 来探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系．
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
（2）探究向心力大小F与质量m的关系时，选择两个质量 （选填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板 （选填“A”或“B”）和挡板C处．
28．某小组的同学设计了一个研究汽车通过凹形桥最低点时的速度与其对桥面压力关系的实验装置。所用器材有小钢球、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径R＝0.30m）。完成下列填空：
（1）将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为1.10kg。
（2）将小钢球静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，则该小钢球的重力为 N（重力加速度取10m/s2）。
（3）将小钢球从凹形桥模拟器某一位置释放，小钢球经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小钢球，记录各次的m值如表所示：
（4）根据以上数据，可求出小钢球经过凹形桥最低点时对桥的压力为 N（重力加速度取10m/s2）；小钢球通过最低点时的速度大小为 m/s；小钢球处于 （选填“超重”或“失重”）状态。
29．如图所示，倾角（θ＝53°）的窄斜面ABC固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点A在转轴OO1上。转台以一定角速度ω匀速转动时，质量为m的小物块（可视为质点）放置于斜面上，与斜面一起转动且相对斜面静止在AB上。小物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，物块与A点间的距离为L，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cs53°＝0.6。
（1）求ω为多大时，小物块与斜面之间没有摩擦力；
（2）若μ＝0.5为了使小物块始终相对斜面静止在AB上，求ω。
30．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1m，弹簧劲度系数k＝100N/m，圆环质量m＝1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计。
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
31．如图所示，水平转台上有一个质量m＝2kg的小物块，用长L＝0.5m的细线将物块连接到转轴上，此时细线恰好绷直无拉力，细线与竖直转轴的夹角θ＝37°，物块与转台间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使转台由静止开始逐渐加速转动。g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8。求：
（1）当绳子刚好出现拉力时，转台角速度ω1为多大？
（2）当物块刚要离开转台时，转台角速度ω2为多大？
（3）当转台角速度为ω3=20rad/s时，细线的拉力为多大？
32．如图所示，质量为m的小球用细线悬挂于天花板的O点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g。
（1）若悬挂小球的细线长为L，小球做匀速圆周运动的角速度为ω，求细线对小球的拉力F的大小；
（2）设小球运动的轨迹圆的圆心O'到悬挂点O的距离为h，请写出小球做匀速圆周运动的角速度ω与h的函数关系式；
（3）已知悬挂点O到水平地面（图中未画出）的高度H＝2L，细线长为L，细线能承受的最大拉力是小球所受重力的2倍，缓慢增大小球的角速度，若角度θ已知，求小球的落地点到悬挂点O的距离s0。
33．一个半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕竖直轴O′O″转动，水平转盘中心O′处有一个光滑小孔，用一根长L＝1m细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接，小物块B放在水平转盘的边缘且与转盘保持相对静止，如图所示。现让小球A在水平面做角速度ωA＝5rad/s的匀速圆周运动，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3（取g＝10m/s2），求：
（1）细线与竖直方向的夹角θ；
（2）小球A运动不变，现使水平转盘转动起来，要使小物块B与水平转盘间保持相对静止，求水平转盘角速度ωB的取值范围；（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）问中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间小球A和小物块B的速度相互垂直。（可能使用到的sin30°=12，cs30°=32，sin37°=35，cs37°=45）
34．“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能向盘的边缘。如图所示，质量为50kg的彬彬（视为质点）坐在转盘上与转盘中心相距r＝1m，转盘的半径R＝3m，彬彬与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力。
（1）当转盘的角速度大小为ω1＝1rad/s时，彬彬未滑动，求此时人受到的摩擦力大小；
（2）使转盘的转速缓慢增大，求彬彬与转盘刚发生相对滑动时转盘的角速度大小ω2；
（3）当彬彬滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ω3，就可以紧贴着侧壁一起转动而不受到地面支持力，试求角速度ω3的大小。
35．如图所示，斜槽轨道下端与一个半径为0.4m的圆形轨道相连接．一个质量为0.1kg的物体从高为H＝2m的A点由静止开始滑下，运动到圆形轨道的最高点C处时，对轨道的压力等于物体的重力．求物体从A运动到C的过程中克服摩擦力所做的功（g取10m/s2）．
36．如图所示，一根长L＝0.1m的细线，一端系着一个质量m＝0.18kg的小球，拉住线的另一端，使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。现使小球的角速度缓慢地增大，当小球的角速度增大到开始时的3倍时，细线断开，细线断开前的瞬间受到的拉力比开始时大40N．取g＝10m/s2。
（1）求细线断开前的瞬间，小球受到的拉力大小；
（2）求细线断开前的瞬间，小球的线速度大小；
（3）若小球离开桌面时，速度方向与桌面右边缘间的夹角为30°，桌面高出水平地面0.8m，求小球飞出后的落地点到桌面右边缘的水平距离。
37．甲、乙两辆完全相同的汽车，它们以相同的速率v＝10m/s匀速率行驶，分别通过一个凸形桥和一个凹形桥，两桥半径都是R＝40m，当它们分别通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，受到的支持力大小之比为多少？（g＝10m/s2）
38．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s，盘面上有一个质量为2.5kg的小物块随圆盘一起运动（二者未发生相对滑动），小物块与转轴的距离为R＝0.3m。求：
（1）小物块运动的线速度大小；
（2）小物块受到的静摩擦力大小和方向。
（3）若圆盘对小物块的最大静摩擦力为18.75N，要使二者不发生相对滑动，圆盘转动的角速度不能超过多大？
39．长为L＝18cm的细线，拴一质量为2kg的小球，一端固定于O点。让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线与竖直方向的夹角为α＝37°，g＝10m/s2，求：
（1）小球的向心力F的大小；
（2）小球的线速度的大小。
40．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球从轨道口B飞出后，小球落地点C距A处的距离为4R（AB为圆的直径，重力加速度为g），求：
（1）小球经过B点的速度大小；
（2）小球在B点对轨道的压力大小。
41．如图所示，质量为0.8kg的小球用长为0.5m的细线悬挂在O点，O点距水平地面高度为2m，如果使小球绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，若细线受力为10N时就会被拉断，g取10m/s2，求：
（1）当小球的角速度为多大时细线将断裂；
（2）线刚好拉断时小球落地点与悬点O的水平距离。
42．旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动，若相对两个木马间的杆长为6m，木马的质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为6m/s时，试问：
（1）此时木马和儿童的向心力分别由哪个物体提供．
（2）此时儿童受到的向心力是多大？
43．如图所示，质量m＝1×104kg的汽车以相同的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为80m，如果桥面承受的压力不超过3.0×105N，则：（g取10m/s2）
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
44．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R＝0.2m的光滑14圆形轨道，BC段为高为h＝5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g＝10m/s2），求：
（1）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离；
（2）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由。
▉题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义
【知识点的认识】
1.概念：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。
2.物理意义：向心加速度在匀速圆周运动中是用来描述速度变化快慢的物理量。
3.变速圆周运动中的加速度：变速圆周运动中，线速度的大小与方向均在变化，加速度的大小与方向均在变化，且加速度的方向不再指向圆心。
4.圆周运动中的外力与加速度
牛顿第二定律适用于任何运动形式，圆周运动也不例外。匀速圆周运动中向心力即是合力，向心加速度即是总的加速度，故有Fn＝man。
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，可产生两个效果：沿半径方向上的合力改变物体速度的方向而产生向心加速度，沿切线方向上的合力改变物体速度的大小而产生切向加速度。合力与总的加速度、向心力与向心加速度，切向力与切向加速度均遵从牛顿第二定律。
45．关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是（ ）
A．它只改变线速度的方向
B．它描述的是线速度大小变化的快慢
C．它描述的是角速度变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
46．断电后，风扇慢慢停下过程中，关于图中扇叶上A、B两点的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．A、B两点的线速度始终相同
B．A、B两点的转速不相同
C．A点的加速度始终指向圆心
D．A、B两点的向心加速度比值保持不变
▉题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
【知识点的认识】
1.向心加速度的表达式为an＝ω2r=v2r=4π2rT2=4π2n2r＝ωv
2.由表达式可知，向心加速度与物体的质量无关，与线速度、角速度、半径、周期、转速等参数有关。
3.对于公式an=v2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当运动半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
4.对于公式an＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
5.向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，an与r成正比。如图所示。
47．关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动的物体所受的向心力一定指向圆心，非匀速圆周运动的物体所受的向心力可能不指向圆心
B．做曲线运动的物体一定有加速度
C．只要物体做圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心
D．做曲线运动的物体，速度也可以保持不变
48．如图所示是一台长臂挖掘机。在驾驶员的操作下，挖掘机的机械臂关节点O静止不动，机械臂OB绕O点在竖直平面内逆时针转动，机械臂BC始终保持水平。已知A点为机械臂OB的中点，两臂长度OB：BC＝3：2。在此运动过程中（ ）
A．ωB＝2ωA
B．vB＝0.6vC
C．aB＝4aA
D．C点的轨迹为一段圆弧
49．下列说法正确的是（ ）
A．由P=Wt可知，只要做功多，功率就大
B．由P＝Fv可知，汽车牵引力一定时，它的功率与速度成正比
C．由an＝ω2r可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成正比
D．由an=v2r可知，向心加速度一定与圆周运动的半径成反比
50．如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中（ ）
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D．P、Q两点的线速度方向相反
51．洗手后我们往往都有“甩水”的动作，如图所示是摄像机拍摄甩水视频后制作的频闪画面，A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。最后3帧照片中，指尖先以肘关节M为圆心做圆周运动，到接近B的最后时刻，指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。测得A、B之间的距离约为24cm，B、N之间的距离为15cm，相邻两帧之间的时间间隔为0.04s，则指尖（ ）
A．经过B点速率约为3m/s
B．经过B点的角速度约为10rad/s
C．在BC段的向心加速度约为240m/s2
D．AB段与BC段相比更容易将水甩出
（多选）52．如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A点位置，质量为70kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0m，B点的转弯半径为4.0m，则学员和教练员（均可视为质点）（ ）
A．运动周期之比为1：1
B．运动线速度大小之比为1：1
C．向心加速度大小之比为4：5
D．受到的合力大小之比为15：14
（多选）53．如图所示是两个做圆锥摆运动的小球1、小球2，摆线跟竖直方向的夹角分别为53°和37°，两球做匀速圆周运动所在的水平面到各自悬点的距离之比为2：1．下列有关判断正确的是（ ）
A．两球运动周期之比为1：2
B．两球运动线速度之比为16：9
C．两球运动角速度之比为1：2
D．两球运动向心加速度之比为16：9
（多选）54．如图，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，另一端BC伸直，水平放置在桌面上并固定。半圆形APB半径R＝1.0m，BC长L＝1.5m，桌子高度h＝0.8m，质量1.0kg的小球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2m，不计空气阻力，g取10m/s2．则以下分析正确的是（ ）
A．小球做平抛运动的初速度为10m/s
B．小球在圆轨道P点的角速度ω＝10rad/s
C．小球在P点的向心加速度为a＝25m/s2
D．小球从B运动到D的时间为0.7s
▉题型7 探究圆周运动的相关参数问题
【知识点的认识】
一、实验仪器
1.转动手柄；2、3.变速塔轮；4.长槽；5.短槽；6.横臂；7.弹簧测力套筒；8.标尺
二、实验步骤
匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。这时，小球向外挤压挡板，挡板对小球的反作用力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。同时，小球压挡板的力使挡板另一端压缩弹簧测力套简里的弹簧，弹簧的压缩量可以从标尺上读出，该读数显示了向心力大小。
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，分别使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
三、数据处理
（1）m、r一定
（2）m、ω一定
（3）r、ω一定
（4）分别作出F向﹣ω2、F向﹣r、F向﹣m的图像。
（5）实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比；
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比；
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
55．某实验小组用如图甲所示的装置来探究小球做匀速圆周运动时所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到了物理学中 的方法。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．演绎法
（2）在探究向心力F与角速度ω的关系时，若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为1：9，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为 （填选项前的字母）。
A．1：3
B．3：1
C．1：9
D．9：1
（3）为验证做匀速圆周运动物体的向心力的定量表达式，实验组内某同学设计了如图乙所示的实验装置，电动机带动转轴OO′匀速转动，改变电动机的电压可以改变转轴的转速；其中AB是固定在竖直转轴OO′上的水平凹槽，A端固定的压力传感器可测出小球对其压力的大小，B端固定一宽度为d的挡光片，光电门可测量挡光片每一次的挡光时间。
实验步骤：
①测出挡光片与转轴的距离为L；
②将小钢球紧靠传感器放置在凹槽上，测出此时小钢球球心与转轴的距离为r；
③启动电动机，使凹槽AB绕转轴OO′匀速转动；
④记录下此时压力传感器示数F和挡光时间Δt。
（a）小钢球转动的角速度ω＝ （用L、d、Δt表示）；
（b）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F﹣ω2图像如图丙所示，若忽略小钢球所受摩擦且小钢球球心与转轴的距离为r＝0.30m，则小钢球的质量m＝ kg（结果保留2位有效数字）。
56．“探究向心力大小的表达式”的实验装置如图甲所示。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1：2：1，变速塔轮自上而下有如图乙所示三种组合方式传动，左右每层半径之比由上至下分别为1：1、2：1和3：1。
（1）在研究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系时，我们主要用到的物理学研究方法是 ；
A.理想实验法
B.等效替代法
C.控制变量法
D.演绎推理法
（2）某次实验中，把传动皮带调至第一层塔轮，将两个质量相等的钢球放在B、C位置，可探究向心力的大小与 的关系；
（3）匀速摇动手柄时，若两个钢球的质量和运动半径相等，左、右两标尺显示的格数之比为1：4，则与皮带连接的左塔轮和右塔轮的半径之比为 。
57．某实验小组通过如图所示的装置验证向心力公式。一个体积较小，质量为m的滑块套在水平杆上（不会翻到），力传感器通过一根细绳连接滑块，用来测量绳中拉力F的大小，最初整个装置静止，细绳刚好伸直但无张力，然后让整个装置逐渐加速转动，最后滑块随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。滑块的中心固定一块挡光片，宽度为d，滑块的中心到转轴的距离为L，每经过光电门一次，通过力传感器和光电计时器就同时获得一组细绳拉力F和挡光片经过光电门时的挡光时间的数据。
（1）某次旋转过程中挡光片经过光电门时的挡光时间为Δt，则滑块转动的线速v＝ 。
（2）认为绳的张力充当向心力，如果F＝ （用已知量和待测量的符号表示），则向心力的表达式得到验证。
（3）该小组验证向心力的表达式时，经多次实验，仪器正常，操作和读数均没有问题，发现拉力F的测量值与滑块的向心力的理论值相比 （填“偏大”或“偏小”），主要原因是 。
58．如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
（1）现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是 。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
（2）在该实验中应用了 （选填“理想实验法”、“控制变量法”、“等效替代法”）来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（3）当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边轮塔与右边轮塔之间的角速度之比为 。
59．如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图，图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时，
（1）本实验采用的科学方法是 ；
（2）两槽转动的角速度ωA ωB（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2：1。则钢球1、2的线速度之比为 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为 时，向心力公式F＝mω2r得到验证。
60．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
（1）本实验采用的科学方法是 ；
A．控制变量法
B．累积法
C．微元法
D．放大法
（2）通过本实验可以得到的结果是 。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
题型1 向心力的定义及物理意义（受力分析方面）
题型2 向心力的表达式及影响向心力大小的因素
题型3 通过受力分析求解向心力
题型4 牛顿第二定律与向心力结合解决问题
题型5 向心加速度的概念、方向及物理意义
题型6 向心加速度的表达式及影响向心加速度大小的因素
题型7 探究圆周运动的相关参数问题

序号
1
2
3
4
5
m（kg）
1.80
1.78
1.83
1.76
1.84
序号
1
2
3
4
5
6
F向
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
F向
r
序号
1
2
3
4
5
6
F向
m