北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题（解析版）

这是一份北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试题（解析版），共30页。
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集及交集运算即可求解.
【详解】由，可得或，
所以，
故选：B
2. 已知复数，则共轭复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由题意可得：，
则其共轭复数.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 在的展开式中，x的系数为（ ）
A. B. C. 32D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】由通项公式即可求解.
【详解】通项公式，
令，得，
所以x的系数为，
故选：A
4. 已知等差数列满足：，且，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.
【详解】设公差为，
由，，
得，解得，
所以，
所以.
故选：D.
5. 已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A. 16B. 6C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，
由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，
设，
联立方程，可得，解得，
由抛物线的定义可知，.
故选：C
6. 若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解.
【详解】由于在圆上，圆心为，
要使关于直线的对称点在圆上，
则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合，
故选：D
7. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先判断充分性，即判断当时，是否成立；再判断必要性，即判断当时，是否成立．
【详解】设函数，其定义域为．
对求导，根据求导公式，可得．
因为，所以，则．
这表明函数在上单调递增．
当时，，即，移项可得．
所以由能推出，充分性成立．
当时，即．
因为，且在上单调递增，所以时，．
这说明当时，不一定有，必要性不成立．
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
8. 已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
，
令，则，
所以函数，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
9. 经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由几何体的结构特征求出碳氢键的键长，利用余弦定理进行求解即可.
【详解】如图：

设正四面体的棱长为，正三角形中，，
正四面体的高，
设,则中，
,
即,
解得即
则中，
故选：B
10. 已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A. 有最大值为B. 有最大值为
C. 有最小值为D. 有最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据,可得，即可根据坐标运算以及夹角公式得，分离常数后构造函数，根据导数求解函数的最值即可求解.
【详解】设，
由得，故,因此，
故，
由于
，则，
则，
令，
故在上单调递增，由于，
故当在上恒成立，在上恒成立，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取到极小值也是最小值，因此
因此，
故由于恒成立，故，
故选：C
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线方程即可求解.
【详解】双曲线的焦点在x轴上，，
所以渐近线方程为，
故答案为：
12. 在中，已知，，.则_______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解.
【详解】由正弦定理可得，故，
故,
故答案为：.
13. 设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t=_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式，分别代入不同的时间或质量比值来求解相应的结果.
详解】已知公式，当时，将其代入公式可得：
，所以.
已知，即，两边同时除以可得.
因为，所以.
根据指数的性质，可得，解得.
故答案为：；.
14. 设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为_______；若有三个零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】 ①. 1（答案不唯一）， ②.
【解析】
【分析】判断函数在每段上的单调性，根据的单调性，列出相应不等式，即可求得第一空答案；分类讨论，判断函数的零点个数，即可求得第二空答案.
【详解】因为，则时，，在上单调递增，
此时
时，，在上单调递增，此时，
故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，
结合，则，
故a的一个取值可为1；
时，，令，
则，解得或；
时，，令，
则，解得，
当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；
当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；
故实数a的取值范围是，
故答案为：1（答案不唯一），
15. 已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】选项A，用，代替验证①；取，即可求解方程的根判断②，根据题中条件，得出的范围，即可判断③正确；根据题意，可分析，时的情况，确定第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，对应的面积一定大于1，根据对称性，即可判定④.
【详解】将代入，整理得，所以曲线关于原点对称，
同理将代入方程整理后其方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；
取，则，故，
故（增根已舍去），因此②错误，
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为；故③正确；
令，可得，
令，
因为，
所以函数有两个零点，
又因为，，
所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线上当时，
同理当时，
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
所以第一象限内的面积应大于1；
由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故④正确.
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设函数
（1）若，求的值.
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：在区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
【答案】（1）
（2）选择条件①或③，.
【解析】
【分析】（1）利用得，再结合的范围即可；
（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求，再根据最值即可求解；若选择②，因不值域范围内，故不存在解析式.
【小问1详解】
由题意可知，即，
因，则.
【小问2详解】
条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，
则在处取最小值，在处取最大值，
则，，
则，，
因，则，
则；
条件②：因，则不可能成立，故无解析式；
条件③：因，则在处取最大值，
又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，
则在处取最小值，
则，，
则，，
因，则，
则.
综上可知，若选择条件①或③，则；
若选择条件②，则不存在解析式.
17. 如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.

（1）证明：M为线段中点；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可结合正边形的性质求证，
（2）根据面面垂直的性质可得的补角即为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解.
【小问1详解】
由于平面，平面，平面平面,
故,又,故四边形为平行四边形，
故,由于，故,故M为线段中点，
【小问2详解】
过作于,过作于，连接,
由于平面与平面垂直,且交线,平面，
故平面，
平面，故,
又，平面，
故平面
平面，故,
故的补角即为二面角的平面角，
由于故为的中点，则，
由于为等边三角形，为的中点，故,
在直角中，
故二面角的余弦值为

18. 某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
（1）从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
（2）现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）运用古典概型概率公式计算；
（2）（ⅰ）中求的分布列就是确定的所有可能取值，结合二项分布求每个取值的概率.进而得到分布列和均值；（ⅱ）运用超几何分布求出，与比较即可.
【小问1详解】
已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.
根据古典概型概率公式，所以.
【小问2详解】
（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.
根据二项分布概率公式可得：
，
， ，
，
，
列出的分布列：
.
（ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.
求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.
比较大小：因为，，所以.
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率和即可结合的关系求解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据中点坐标可得，进而可得以及，即可结合向量的数量积以及两点距离公式化简求解.
【小问1详解】
根据题意可知，解得，
故椭圆方程为
【小问2详解】
设直线，联立与的方程可得，
设，则,
故，故，
，
故直线的方程为，
联立与椭圆方程可得，解得,
在直线中，令，则，故,
故
，
故
20. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
（3）若有两个根，，写出a的范围并证明.
【答案】（1）增区间，减区间
（2）
（3），证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，判断导数正负得解；
（2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值；
（3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可.
【小问1详解】
由，
故当时，，当时，，
所以的单调增区间为，减区间为.
【小问2详解】
曲线在处的切线斜率，又，
所以其切线方程为，
令，得，则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以.
【小问3详解】
由（1），的单调增区间为，减区间为，且，，
当时，，当时，，
即时，，时，，
若有两个根，则，且，，
要证，即证，又在上单调递减，
即证，又，
即证在上恒成立，
又，即证，
两边取对数，原命题即证在上恒成立，
令，，
，
故在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，故得证.
21. 已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
（1）若数列，卷积核，求数列B.
（2）设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
（3）已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，理由解析
【解析】
【分析】（1）要算，从开始往后选三项与进行点积即可，
（2）方法一：由可知数列的首尾项相同，成对称结构，且，从一直递增到中间项，再对称地递减，要证明数列中最大的项就从中间项开始点积，即可求证，方法二：利用作差法即可证明.
（3）方法一：当为偶数时，存在数列:符合题意，当为奇数时，利用反证法求证得为常数列，产生矛盾得解.方法二：利用反证法即可证明.
【小问1详解】
,
,
所以数列
【小问2详解】
方法一：依题意有
当时，
由
又则，
即当时，，
当时，记，
由
即当时，，
综上可得：数列B中最大的项为.
方法二：由已知可得.
当时，，
因为>0,
所以
当时，，
因为