北京市西城区2025届高三下学期高考模拟模拟测试数学试题（解析版）

这是一份北京市西城区2025届高三下学期高考模拟模拟测试数学试题（解析版），共20页。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
错误，错误，错误，
，
所以，D正确，
故选：D
2. 设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，
所以复数对应的点，位于第四象限，
故选：D
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得.
故选：B.
4. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. 4D. 8
【答案】A
【解析】法一：令，则，
所以原式左边为，
原式右边为，
所以.
法二：根据二项式定理，得
所以
所以.
故选：A.
5. 设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（ ）
A. 1B. 3或1C. 3D. 3或
【答案】D
【解析】将直线代入圆的方程可得：，
设，
所以，
，则，
所以，
化简得：，
解得：或，
故选：D
6. 设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题意，即
，由于，解得.
故选：B.
7. 设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若与共线，则存在实数，使得，即，
由于平面向量与不共线，所以且，故，
因此“与共线”是“”的充要条件，
故选：C
8. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A. 840mm，594mmB. 840mm，588mm
C. 594mm，420mmD. 588mm，420mm
【答案】A
【解析】A4纸的宽为，设其长为，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为，长为，
且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
即A3纸的宽为，长为，
A2纸的宽为，长为，
A1纸的宽为，长为，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，解得，则，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm.
故选：A
9. 设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
显然点到平面的距离为，
设点，在上取一点，而，
所有，从而，
所以点P到直线的距离为，
所以，
令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0，
令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是，
令，得，即，此时点的轨迹长度是0，
令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是，
令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为，
令得，，即，此时点的轨迹长度是0，
综上所述，所求为.
故选：D.
10. 已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若，即，
此时，满足要求；
若，则，
此时，
故恒成立，
其中，故；
若且，即，
此时
，对称轴为，
若，此时在上单调递增，
故只需，即，解得，故；
若，此时在上单调递减，
在上单调递增，
故，令，解得，
与取交集得，
若，此时在上单调递减，
故只需，即，解得，
与取交集得；
综上，实数的取值范围为.
故选：B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
12. 一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分．那么该模具的体积为______．
【答案】
【解析】由题可知，，
∴该模具的体积为，
故答案为：.
13. 设函数，则使得函数在区间上存在最大值的一个值为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，则，
令，所以，
因为在区间上存在最大值，
所以，
则，
又，即，所以或，
所以符合题意的一个值为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
14. 在数列中，，且任意连续三项的和均为7，则______；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数______．
【答案】①. 6 ②. 44
【解析】由题意，所以数列是周期为3的周期数列，
所以，故；
当时，，解得，此时最大整数为42，
当时，，解得，此时最大整数为42，
当时，，解得，此时最大整数为44，
综上所述，，使得成立的最大整数.
故答案为：6，44.
15. 数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论：
①；
②；
③若点在第一象限，则；
④的周长可以等于．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【解析】对于①中，由双纽线，
令，可得，解得或，所以，所以①正确；
对于②中，设，其中，且，
由，
因为，可得，可得，
所以，所以②正确；
对于③中，若点位于第一象限，要证，
即证，等价于，
由双纽线，可得，所以③正确；
对于④中，设，则三角形的周长为，
在中，由余弦定理得，
即，
即，所以，
即，所以，
因为，所以④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知中，．
（1）求的大小；
（2）设为的中点，且，求的面积．
解：（1）由，得．
由，得，故，
所以．
（2）由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得或（舍）．
所以，
故．
17. 如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）证明：因为，平面平面，平面平面，
所以平面．
由分别为中点，得，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：选择条件①②：
因为，
所以，则．
所以．
由平面，得．
故两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，．
设平面的法向量为，
则即
令，则．于是．
易知平面的一个法向量．
设平面与平面夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选择条件①③；
由平面，得．
因为，
所以平面．
所以．故两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．
选择条件②③；
由平面，得．
因为，
所以平面．
所以．故两两垂直．
又因为，
所以．
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略．
18. 网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：
用频率估计概率.
（1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
（2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；
（3）记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明）
解：（1）记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，
根据数据，知仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，
所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率．
（2）记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，
根据数据，知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为．
则．
所以在未来日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为．
（3）
最大的三个数为：，最小的三个数为：，
这6个数之和为
故
故.
19. 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点．
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围．
解：（1）因为直线与坐标轴交点为和，
所以．
由，解得，
所以椭圆的方程为，离心率．
（2）由题意，直线的斜率存在，故设其方程为，
设点，
由得，
所以．
所以点的横坐标，纵坐标．
结合直线过坐标原点，可得直线的方程为．
令，得点的坐标为．
当时，显然点不在轴上．
则直线：，直线：．
令，得点．
由线段的中点为，得，
整理，得，
即，
化简，得．
由，得．
当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合），
处为中点，且，
在中，，则直线的方程为，
由的中点为，则，即，故，
所以，当且仅当时等号成立．
综上，的取值范围为.
20. 已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（2）证明：函数存在极小值；
（3）记函数的最小值为，求的最大值．
（1）解：求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）证明：函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
（3）解：由（2）知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值0．
21. 已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯．
（1）若数列：，求数列和；
（2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列；
（3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：．
（1）解：由题意得，数列，数列，
故数列．
（2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列；
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，很，故仍为递增数列：
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍递增数列．
综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列．
以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列．
（3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为．
设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，
则．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即；
若与异号，则或；
若与中有0，则一定不与异号，故．
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则；
若与异号，有以下三种情况：
①若与同号，显然也与异号，则；
②若与异号，则；
③若与中有0，只有一个0，
不妨设，则与异号，故，或，或．
若与同为0，则；
若，，不妨设，则与同号，故；
若，，不妨设，则与异号，故或；
对进行变换与进行变换类似．
综上，对进行一次变换后，．
以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对．
所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变，
即．时间
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
11号
12号
13号
14号
15号
搜索量
6.2
5.1
6.1
72
6.1
7.4
6.2
6.3
6.4
6.3
7.1
6.3
73
7.6
7.9
时间
16号
17号
18号
19号
20号
21号
22号
23号
24号
25号
26号
27号
28号
29号
30号
搜索量
8.5
11.2
10.3
9.1
9.6
10.1
10.6
10.9
8.8
10.4
82
11.5
12.1
12.8
13.6
-
0
+
极小值
1
+
0
-
极大值