北京市通州区2023届高三下学期4月模拟考试数学试卷

通州区2023年高三年级模拟考试

数 学 试 卷                 2023年4月

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题   共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集，集合，则

（A）      （B）    （C）         （D）

（2）已知复数．则

（A） （B） （C）            （D）

（3）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是

（A）       （B）            （C）    （D）

（4）在的展开式中， 的系数为

（A）          （B）           （C）            （D）

（5）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其焦点坐标为

（A） （B） （C）  （D）

（6） 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，，，

，则该几何体的体积为 

（A）          （B）    

（C）        （D）

（7）声强级（单位：）与声强（单位：）满足 .

一般噪音的声强级约为，正常交谈的声强级约为，那么一般噪音的声强约

为正常交谈的声强的 

（A）倍        （B）倍          （C）倍           （D）倍

（8）已知函数的部分图

象如图所示，则的解析式为

（A）     （B）

（C）  （D）

（9）已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 

（C）充分必要条件                       （D）既不充分也不必要条件

（10） 在平面直角坐标系内，点是坐标原点，动点满足，，A为线段BC中点， P为圆任意一点，则的取值范围是

（A）        （B）          （C）          （D）

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知向量，，若，则x=      ．

（12）已知等差数列的公差，且，则的前项和      ．

（13）抛物线的焦点为，点在抛物线上， 且点到直线的

距离是线段长度的倍，则     ．

（14）设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的一个取值

为     ；若函数存在三个零点，则实数的取值范围是     ．

（15）两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如.

关于欧拉函数给出下面四个结论：

①；

②，恒有 ；

③若m，n（）都是素数，则；

④若，其中为素数，则 .

（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数.）

则所有正确结论的序号为     .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△中，角A,B,C的对边分别为， .

（Ι）求的值；

（П）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△存在且唯一确定，求△的面积．

条件①：；条件②：；条件③：△的周长为9．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题14分）

如图，已知三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为

2的正方形，，为的中点，

D为棱BC上一点，平面.

（Ⅰ）求证： D为BC中点；

（Ⅱ）求直线BC与平面所成角的正弦值.  

（18）（本小题13分）

某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：

（一般地，行业收益率一般指：.）

(Ⅰ)任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；

(Ⅱ)从7个分行业中任选3个，设为选出的收益率高于50%的分行业的个数，求的分布列及期望；

(Ⅲ)设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系.(结论不要求证明)

（19）（本小题15分）

已知椭圆过点，离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点关于y轴的对称点为B，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．求证四边形APBQ为菱形.

（20）（本小题15分）

已知函数，.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设请判断是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.

（21）（本小题15分）

设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足：

①均非空；

②中任意两个集合交集为空集；

③.

则称为集合的一个m阶分拆.

 (Ⅰ)若，写出集合的所有2阶分拆（其中与为集合A的同一个2阶分拆）；

(Ⅱ)若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所

有元素的平均值为, 求的最大值；

(Ⅲ)设为正整数集合的3阶分拆.若满足任

取集合中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等.求证：为奇数.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）    （12）    （13）2  （14）或的任意值； 

 （15）①③④

说明：（（14）题前3后2；（15）题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）在△中，因为，

所以：，

即.                                ……………….2分

又因为,

所以，                                  ……………….4分

即：，                                       ……………….5分

（Ⅱ）选条件①：，且（Ⅰ）中，       ……………….6分

由余弦定理，得.     ……………….8分

所以.                                       ……………….10分                                  

又由可知，                     ……………….11分

所以△的面积.……………….13分

选条件：△的周长为9，且（Ⅰ）中，……………….6分

，则.                ……………….8分

由余弦定理，得，……………….10分

所以.                                ……………….11分

所以△的面积.     ……………13分

（17）（本小题14分）

（Ⅰ）证明：

          因为 平面， 平面，平面平面，

所以.                                    ………………2分

又因为正方形中，，

所以是平行四边形.所以.             ……………….3分

因为为的中点，

所以.                          ……………….4分

所以为的中点.                                      …………5分

（Ⅱ）解：因为等边三角形的边长为2，

所以，.

又，，

所以，

所以.          ……………….6分

因为，，

所以平面.  ……………….7分

连接，所以，

所以.        ……………….8分

以D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

………9分

则，，，，，.                                      ……………….10分

设平面的法向量为，

则，则.               ……………….11分

.                        ……………….13分

所以直线BC与平面所成角的正弦值为.              …………14分

（18）（本小题13分）

     解：（Ⅰ）根据表格，任选一个分行业，行业收益率不低于50%的有：行业3、行业5、行业6、行业7，共4个，设“任选一个分行业，行业收益率不低于50%”为事件A，

则.                                   …………3分

（Ⅱ）7个分行业中,收益率高于50%的行业个数为3个，所以的取值为：0,1,2,3.

…………4分

；                                     …………5分

 ；                                   …………6分

；                                     …………7分

；                                      …………8分

所以X的分布列为：

．                                   …………10分

（Ⅲ）.                                            …………13分

（19）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意可知                                …………3分

解得                                   …………4分

所以椭圆的标准方程为.                  …………5分

（Ⅱ）点关于y轴的对称点为点B的坐标为.       …………6分

直线的斜率为.                     …………7分

因为直线与平行，

设直线l的方程为. 

由得.             …………8分

由，得，且. …………9分

设，，则，. …………10分

直线的方程为，

令，得点的纵坐标为.            …………11分

同理可得点的纵坐标为.              …………12分

.                              …………14分

所以线段中点坐标为.

又线段中点坐标也为，

所以线段，垂直且平分.

所以四边形APBQ为菱形.                           …………15分

（20）（本小题15分）

解：（Ⅰ） 因为

所以                              …………1分

所以.                        …………2分

，                                …………3分

.                                    …………4分

（Ⅱ）                         …………5分

，

．                 …………6分

，

．

　　　　　　　，                     …………7分

　　　　　　　，．

　　　　　　　，．

　　　　　　　所以．             …………8分

　　　　　　　所以．

　　　　　　所以．          …………9分

　　　　（Ⅲ）因为对于任意，恒成立,

　　　　　　　所以对于任意，恒成立,

　　　　　　　即对于任意，恒成立.         …………10分

　　　　　　　,

　　　　　　　所以.                   …………11分

　　　　　　　所以.

　　　　　　　所以.                                      …………12分

　　　　　　　.

　　　　　　　所以．…………13分

　　　　　　　．                             …………14分

　　　　　　　即．                                       …………15分

（21）（本小题15分）

　　解：（Ⅰ） {1,2}，{3}；{1,3}，{2}；{2,3}，{1}．              …………3分

　　　　（Ⅱ）不妨设P>Q，，

　　　　　则|P-Q|=P-Q=．

　　　　　因为，

   　　　　　 所以P-Q=．

　　　　　当且仅当时，取到等号．              …………9分

　（Ⅲ）证法（一）

 　　　 证明：由题意可得：

　，，元素和相等的集合．

　　　　设集合或中元素的和为，集合中的所有元素之和为．

 　　　　所以．

　　　　　（1）当集合中存在元素（）为奇数时，

　　　　　　因为，为偶数，所以为奇数．

　　　　　　对于任意，均有．

  　　　所以此时集合中的元素均为奇数．

　　　　　　因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，

　　　　　　所以为奇数．

　　　　　（2）当集合中存在元素（）为偶数时，

　　　　　　因为，为偶数，所以为偶数．

　　　　　　对于任意，均有．

  　　　所以此时集合中的元素均为偶数．

　　　　　　对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得．

　　　　　　显然集合中的元素除以，仍然满足条件．

　　　　　　将集合中的元素不断除以，直至有一个奇数．

　　　　　　此时，由（１）可得为奇数．

　　　　　　综上所述，为奇数．   　…………15分

　　（Ⅲ）证法（二）

　　　　证明：假设n为偶数，则n-1为奇数.

　　　　由题意对任意i，中所有元素的和为偶数，

　　　　且这些元素分为两类：（1）全为偶数；（2）有奇数个偶数与偶数个奇数．

　　　　若B中元素为奇数个偶数与偶数个奇数，当为偶数时，将与B中的

一个奇数调换，则中有奇数个奇数，

则这些元素的和为奇数，不满足题目中条件②；当为奇数时，将与B中的一个偶数调换，则中有奇数个奇数，则这些元素的和为奇数，不满足题目中条件②；所以此种情况不成立.

若B中元素全为偶数，此时可将所有元素同时除以2，依旧满足题中条件①、②.重复上述操作有限次后，必然可得到一个由奇数个偶数与偶数个奇数组成的集合，所以此种情况也不成立.

                综上，n为奇数．