2024年北京市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年北京市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={−1,0,1,2,3}，A={1,2}，B={0,2,3}，则(∁UA)∩B=( )
A. {3}B. {0,3}C. {1,2,3}D. {0,1,2,3}
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1,−1)，则2iz=( )
A. −1+iB. −2+2iC. 1−iD. 2−2i
3.(x2−2x)6的展开式中常数项为( )
A. −240B. −160C. 240D. 160
4.下列函数中，是奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A. f(x)=1x+1B. f(x)=−x3C. f(x)=tanxD. f(x)=lg12|x|
5.在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，则AB⋅AC=( )
A. 4 3B. 8C. 12D. 8 3
6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(45,−35)，则cs(π−2α)=( )
A. −925B. −725C. 725D. 925
7.已知圆心为C的圆(x+2)2+(y−4)2=16与双曲线E：x24−y2b2=1(b>0)交于A，B两点，且CA⊥CB，则双曲线E的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=±12xC. y=± 2xD. y=±2x
8.某池塘里有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S(单位：平方米)与时间t(单位：月)的关系式为S=at+1(a>0,且a≠1)，图象如图所示.则下列结论正确的个数为( )
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时问分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2−2a2<0”是“nSn+1>(n+1)Sn”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=x|x|−1,x≤1,lg2x+1,x>1,g(x)=xlnx，若关于x的方程(f(x)−2)(g(x)−m)=0恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. (−1e,0)B. (−1e,1)C. (0,+∞)D. (1,+∞)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数f(x)=x2+lg(x−2)的定义域为______.
12.已知点P(1,−2 2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为______.
13.已知数列{an}为等比数列，a1=1，a3=3a2，则a5=______；数列{an+2}的前4项和为______.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，f(x)的图象向左平移π6个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)=______；若f(x)在区间(0,π2)上有3个零点，则ω的一个取值为______.
15.如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90∘形成的面所围成的几何体，点G是圆弧DF的中点，点H是圆弧AE上的动点，AB=2，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面BDH//平面CEG；
②存在点H，使得FH⊥平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于4 33；
④存在点H，使得直线DH与平面CEG所成角的正弦值为 23.其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，几何体ABCDE中，AC⊥BC，四边形ABDE是矩形，BD⊥BC，点F为CE的中点，BC=BD=1，AC=2.
(Ⅰ)求证：BC//平面ADF；
(Ⅱ)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值.
17.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csCcsA=2b−ca.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a=2 3，b=2，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABD的面积.
条件①：AD=12(AB+AC)；
条件②：∠BAD=∠CAD.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视.为了解人们的健康情况，某地区一体检机构统计了2023年20岁到100岁来体检的人数及年龄在[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的体检人数的频率分布情况，如下表.该体检机构进一步分析体检数据发现：60岁到80岁(不含80岁)体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如下图.
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题.
(Ⅰ)根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；
(Ⅱ)用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；
(Ⅲ)根据上图的统计结果，有人认为“该体检机构2023年60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3个，且小于9.8个”.判断这种说法是否正确，并说明理由.
19.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2+x−1ex，a∈R.
(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，求a的取值范围.
20.(本小题15分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为12.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点(不与左右顶点重合)，点T(t,0)在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y轴于点Q，问是否存在t，使得TP⋅TQ为定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，请说明理由.
21.(本小题15分)
从数列{an}中选取第i1项，第i2项，…，第im项(1≤i1(Ⅰ)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
(ⅰ)1，3，5，7；
(ⅱ)4，1，2，6，3.
(Ⅱ)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(Ⅲ)若数列A共有t2+1(t∈N*)项，求证：A必存在一个长度为t+1的单调子列.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合U={−1,0,1,2,3}，A={1,2}，B={0,2,3}，
∴∁UA={−1,0,3}，
则(∁UA)∩B={0,3}.
故选：B.
利用补集、交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，z=1−i，则2iz=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i.
故选：A.
根据复数的几何意义求出z，再根据复数的运算求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由于(x2−2x)6的展开式中，通项公式为Tr+1=C6r⋅(−2)r⋅x12−3r，
再令12−3r=0，求得r=4，可得展开式的常数项为C64⋅16=240，
故选：C.
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f(x)=1x+1为非奇非偶函数，A不符合题意；
f(x)=−x3为奇函数且在区间(0,+∞)上单调递减，B符合题意；
f(x)=tanx在区间(0,+∞)上不单调，C不符合题意；
f(x)=lg12|x|为偶函数，D不符合题意．
故选：B.
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=BC=2，AB=4，
取AB的中点E，
则AE//DC且AE=DC=2，
则EC=2，
则△CEB为正三角形，
过C作CD⊥AB，垂足为D，
则AD=3，
则AB⋅AC=|AB||AC|cs∠CAD=|AB|×|AD|=4×3=12.
故选：C.
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(45,−35)，
则csα=45，
故cs(π−2α)=−cs2α=1−2cs2α=−725.
故选：B.
结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，二倍角公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，二倍角公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：如图，
由图可知，yA=4，代入(x+2)2+(y−4)2=16，得xA=−6，
把A(−6,4)代入x24−y2b2=1(b>0)，得364−16b2=1，解得b= 2.
∴双曲线E的渐近线方程为y=± 22x.
故选：A.
由题意画出图形，可得圆与双曲线一交点的纵坐标，进一步得到交点坐标，代入双曲线方程求b，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由图象知当t=1时，S=4，即a2=4，得a=2，
则S=2t+1，
对于①，当t=2时，S2=8，比一月增长8−4=4，当t=3时，S3=16比二月增长16−8=8，
则每个月增长的面积不相同，故①错误，
对于②，当t=4时，S=32>30，
则浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米，故②正确，
对于③，2t+12t=2，则后一个月是前一个月面积2倍，即增长率为100%，故③错误，
对于④，由2t+1=3，得t+1=lg23，即t1=lg23−1，
由2t+1=4，得t+1=2，即t2=1，
由2t+1=12，得t+1=lg212，即t3=lg212−1=lg26，
则浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和为t1+t2=lg23−1+1=lg23，
∵lg23即浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少，故④错误．
故选：B.
由图象知当t=1时，S=4，可得a=2，所以S=2t+1，再结合指数函数的性质逐个判断即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数函数的性质，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n−1)2d，
所以Snn=a1+n−12d，
若S2−2a2<0，则a1+a2−2a2<0，即a1−a2<0，即d>0，
所以Sn+1n+1−Snn=a1+n2d−(a1+n−12d)=12d>0，
所以Sn+1n+1>Snn，即nSn+1>(n+1)Sn，
所以由“S2−2a2<0”可以推出“nSn+1>(n+1)Sn”，
若nSn+1>(n+1)Sn，则Sn+1n+1>Snn，
所以Sn+1n+1−Snn=a1+n2d−(a1+n−12d)=12d>0，
所以S2−2a2=a1+a2−2a2=a1−a2=−d<0，
即由“nSn+1>(n+1)Sn”可以推出“S2−2a2<0”，
故“S2−2a2<0”是“nSn+1>(n+1)Sn”的充分必要条件．
故选：C.
设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n−1)2d，Sn+1n+1−Snn=12d，所以再利用充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x|x|−1,x≤1lg2x+1,x>1=−x2−1,x≤0x2−1,01，
其图象如图所示：
又因为g(x)=xlnx(x>0)，
g′(x)=lnx+1，
令g′(x)=lnx+1=0，得x=1e，
所以当x∈(0,1e)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1e,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
所以g(x)min=g(1e)=−1e，
又因为关于x的方程(f(x)−2)(g(x)−m)=0恰有3个不同的实数根，
即f(x)=2和g(x)=m共有3个不同的解，
由y=f(x)的图象可知f(x)=2只有一个解为x=2，
所以g(x)=m有两个不同解，且根中不含2，
即y=g(x)的图象与直线y=m有两个不同交点，
如图所示：
由此可得m∈(−1e,0).
故选：A.
由题意可得f(x)=2和g(x)=m共有3个不同的解，由f(x)的图象可知f(x)=2只有一个解，从而得g(x)=m有两个不同解，作出y=g(x)图象，结合图象求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，考查了导数的综合运用，属于中档题．
11.【答案】(2,+∞)
【解析】解：f(x)=x2+lg(x−2)，
则x−2>0，解得x>2，
故函数f(x)的定义域为(2,+∞).
故答案为：(2,+∞).
：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
12.【答案】3
【解析】解：∵点P(1,−2 2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，
∴(−2 2)2=2p，解得p=4.
则抛物线C：y2=8x，可得点P到抛物线C的焦点的距离为1+p2=1+2=3.
故答案为：3.
由已知求解p，再由抛物线的焦半径公式求解．
本题考查抛物线的几何性质，是基础题．
13.【答案】81 48
【解析】解：∵a1=1，a3=3a2，∴a3a2=3=q，
则a5=a1q4=81；
数列{an+2}的前4项和为a1+2+a2+2+a3+2+a4+2=a1+a2+a3+a4+8=1+3+9+27+8=48.
故答案为：81；48.
根据等比数列的通项公式即可求值．
本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】csx6(答案不唯一)
【解析】解：f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则π=2πω，ω=2，
则函数f(x)=sin(2x+π6)，其图象向左平移π6个单位长度后，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)=csx；
f(x)=sin(ωx+π6)，当x∈(0,π2)时，ωx+π6∈(π6,πω2+π6)，
若函数f(x)在(0,π2)上有3个零点，则πω2+π6>3ππω2+π6≤4π，
解得173<ω≤233，则ω的取值范围是(173,233],可取ω=6.
故答案为：csx；6(答案不唯一).
先确定g(x)解析式，再根据余弦函数的性质即可得．
本题考查三角函数的性质，函数零点问题，属于中档题．
15.【答案】②③④
【解析】解：由题意可将图形补全为一个正方体ABEM−DCFN，如图所示：
以点B为坐标原点，BA、BE、BC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)、C(0,0,2)、D(2,0,2)、A(2,0,0)、F(0,2,2)、E(0,2,0)，G( 2, 2,2)，
设点H(2csα,2sinα,0)，其中0≤α≤π2，
对于①，CE=(0,2.−2)，CG=( 2, 2,0)，设n=(x,y,z)⊥平面CEG，
则n⋅CE=2y−2z=0n⋅CG= 2x+ 2y=0，
取x=1，则y=−1，z=−1，可得n=(1,−1,−1)，
设m=(x1,y1,z1)为平面BDH的法向量，
BD=(2,0,2)，BH=(2csα,2sinα,0)，
则m⋅BD=2x+2z=0m⋅BH=2xcsα+2ysinα=0，
取x=sinα，则y=−csα，z=−sinα，可得m=(sinα,−csα,−sinα)，
若平面BDH//平面CEG，则1sinα=−1−csα，解得α=π4，
所以存在H( 2, 2,0)，使得平面BDH//平面CEG，故①错误；
对于②，FH=(2csα,2sinα−2,−2)，若FH⊥平面CEG，则FH//n=0，
即12csα=−12sinα−2=−1−2，即csα=1，sinα=0，故H(2,0,0)，故存在点H，使得FH⊥平面CEG，故②正确；
对于③，CH=(2csα,2sinα,−2)，
设点H到平面CEG的距离为d，则d=|CH⋅n||n|=|2csα−2sinα+2| 3=|2 2sin(α+3π4)+2| 3，
因为0≤α≤π2，所以3π4≤α+3π4≤5π4，
所以sin(α+3π4)∈[− 22, 22]，2 2sin(α+3π4)+2∈[0,4]，
所以d=|2 2sin(α+3π4)+2| 3∈[0,4 33]，
所以不存在点H，使得点l到平面CEG的距离大于4 33，故③正确；
对于④，DH=(2csα−2,2sinα,−2)，n=(1,−1,−1)，则直线DH与平面CEG的所成角为θ，
所以sinθ=|cs⟨DH,n⟩|=|DH⋅n||DH|⋅|n|=|2csα−2−2sinα+2| (2csα−2)2+4sin2α+4⋅ 3
sinθ=|cs|=|DH⋅n||DH||n|=|2csα−2sinα| (2csα−2)2+4sin2α+4⋅ 3=|csα−sinα| 3⋅ 3−2sinα= 23，
整理可得3sm2α−4sinα+3=0，
因为函数f(α)=3sin2α−4sinα+3在α∈[0,π2]时的图象是连续的，且f(0)=3>0，f(π2)=−4+3=−1<0，
所以存在α0∈(0,π2)，使得f(a0)=0，
所以存在点H，使得直线DH与平面CEG的所成角的余弦值为 23，④正确．
故答案为：②③④．
将图形补全为一个正方体ABEM−DCFN，以点B为坐标原点，BA、BE、BC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误
本题主要考查了空间向量在平行及垂直关系的应用，还考查了空间向量在空间角及空间距离求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)证明：连结BE交AD于G，连结FG，
因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点，
因为点F为CE的中点，所以FG是△BCE的中位线，
所以FG//BC，
因为BC⊄平面ADF，FG⊂平面ADF，
所以BC//平面ADF.
(Ⅱ)因为四边形ABDE是矩形，
所以BD⊥AB，
因为BD⊥BC，AB∩BC=B，
所以BD⊥平面ABC，
所以AE⊥平面ABC，
所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，
所以A(0,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D(1,2,1)，F(0,1,12)，
所以AD=(1,2,1)，AF=(0,1,12)，
设平面ADF的法向量为n=(x,y,z)，
所以AD⋅n=0，AF⋅n=0，
所以x+2y+z=0y+12z=0，
令z=−2，得y=1，x=0，
所以n=(0,1,−2)，
因为BD⊥平面ABC，
所以AC⊥BD，
因为AC⊥BC，BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD，
所以AC=(0,2,0)为平面BCD的一个法向量，
即 |cs⟨AC,n⟩|=|AC⋅n|AC|⋅|n||=22× 5= 55，
所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为 55.
【解析】(Ⅰ)根据FG是△BCE的中位线，得到FG//BC，即可得证；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系A−xyz，分别求出平面ADF和平面BCD的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查线面平行的判定以及二面角的求法，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为csCcsA=2b−ca，可得csCcsA=2sinB−sinCsinA，
整理可得sinAcsC+csAsinC=2csAsinB，
即sin(A+C)=2csAsinB，
在三角形中，sin(A+C)=sinB，sinB>0，
所以csA=12，A∈(0,π)，
可得A=π3；
(Ⅱ)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即12=4+c2−2×2×c×12，即c2−2c−8=0，
解得c=4或c=−2(舍)，
若选条件①：AD=12(AB+AC)，可知D为BC的中点，所以S△ABD=12S△ABC，
因为a=2 3，b=2，A=π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×4× 32=2 3，
所以S△ABD=12×2 3= 3；
若条件②：∠BAD=∠CAD，即AD为∠CAB的角平分线，
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，
即12bcsinπ3=12c⋅AD⋅sinπ6+12b⋅AD⋅sinπ6，
即2×4× 32=AD×(2+4)×12，
解得AD=4 33，
所以S△ABD=12c⋅ADsinπ6=12×4×4 33×12=4 33.
【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理，三角形中角的关系，可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的值；
(Ⅱ)选条件①可得AD为BC的中线，可得S△ABD=12S△ABC，由余弦定理可得边c的值，代入三角形的面积公式可得△ABC的面积，进而求出△ABD的面积；若选条件②，可得AD为角平分线，由等面积法，可得AD的值，进而求出△ABD的面积．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，等面积法求线段的大小，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据上表，从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率为17%+3%=20%；
(Ⅱ)用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的概率为15，
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=C30(15)0(45)3=64125，P(X=1)=C31(15)1(45)2=48125，P(X=2)=C32(15)2(45)1=12125，
P(X=3)=C33(15)3(45)0=1125.
所以随机变量X的分布列为：
数学期望为E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35.
(Ⅲ)这种说法不正确．
理由如下：若在60岁到80岁(不含80岁)中，[60,65)、[65,70)、[70,75)、[75,80)体检人群的频率分别为70%、10%、10%、10%，则60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题平均值为0.7×8.7+0.1×9.3+0.1×9.8+0.1×10.1=9.01个，所以该判断是不正确的．
【解析】(Ⅰ)从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，由统计图可求得此人年龄不低于60岁的频率；
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，分别求得P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)及P(X=3)，可求得X的分布列及数学期望；
(Ⅲ)举例说明，可判断这种说法不正确．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=x−1ex，
可得f′(x)=−x+2ex，
此时f′(0)=2，
又f(0)=−1，
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−(−1)=2(x−0)，
即2x−y−1=0；
(Ⅱ)易知函数f(x)的定义域为R，
所以f′(x)=−ax2−2ax+x−2ex=−(ax+1)(x−2)ex，
因为a>0，
令f′(x)=0，
解得x1=−1a，x2=2，
此时−1a<0<2，
当x<−1a时，f′(x)<0；当−1a0；当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)的单调递减区间为(−∞,−1a)和(2,+∞)，单调递增区间为(−1a,2)；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知函数f(x)在[1,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，
因为若对于任意x∈[1,3]，不等式12≤f(x)≤1+1e2成立，
所以f(1)≥12，f(3)≥12，f(2)≤1+1e2，
因为f(1)=ae≥12，
所以a≥e2，
因为f(3)=9a+2e3≥12，
所以a≥e3−418，
因为f(2)=4a+1e2≤1+1e2，
所以a≤e24，
又e2−e3−418=9e−e3+418>9e−e318>0，
则e2>e3−418.
故a的取值范围为[e2,e24].
【解析】(Ⅰ)由题意，得到函数f(x)的解析式，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可求解；
(Ⅱ)对函数f(x)进行求导，利用导数即可得到函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)结合(Ⅱ)中信息得到函数f(x)在[1,3]上的单调性，根据题目所给信息列出等式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(I)因为椭圆E的长轴长为4，离心率为12，
所以2a=4,ca=12.
所以a=2，c=1.所以b2=3.
所以椭圆E的方程为x24+y23=1.
(II)若直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为y=k(x+1)，k≠0.
联立方程组y=k(x+1),x24+y23=1,
消去y，化简得(4k2+3)x2+8k2x+4k2−12=0.
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
所以x1+x2=−8k24k2+3,x1x2=4k2−124k2+3.
所以直线TM的方程为y=y1x1−t(x−t)，直线TN的方程为y=y2x2−t(x−t).
所以P(0,−ty1x1−t),Q(0,−ty2x2−t).
所以TP=(−t,−ty1x1−t),TQ=(−t,−ty2x2−t).
所以TP⋅TQ=t2+−ty1x1−t⋅−ty2x2−t=t2+t2k2x1−t⋅(x1+1)(x2+1)x2−t=t2+t2k2⋅x1x2+x1+x2+1x1x2−t(x1+x2)+t2
=t2+t2k24k2−124k2+3+−8k24k2+3+4k2+34k2+34k2−124k2+3−t−8k24k2+3+4t2k2+3t24k2+3=t2+t2k2−9(4t2+8t+4)k2+3t2−12
=t2+t2−9(4t2+8t+4)+3t2−12k2.
所以当3t2−12=0时，TP⋅TQ为定值，即t=2(负值舍)时，TP⋅TQ有定值3.
当t=2时，若直线l斜率不存在，
不妨设M(−1,32),N(−1,−32)，
所以P(0,1)，Q(0,−1).
所以TP⋅TQ=3.
综上，当t=2时，TP⋅TQ有定值3.
【解析】(Ⅰ)依题意求出a，b，c的值，即可求得椭圆的方程；
(Ⅱ)分直线l斜率存在和不存在两种情况分别求解．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，化简得出根与系数的关系，再表示出直线TM，TN的方程，从而表示出点P，Q的坐标及向量TP,TQ的坐标，计算其数量积，结合韦达定理化简即可确定t的值；当直线l斜率不存在时，利用斜率存在时求得的t的值验证即可．
本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于难题．
21.【答案】解：(Ⅰ)(i)根据题意：选a1=1.则有1，3，5，7，共有b1=4项；
选a2=3则有3，5，7，共有b2=3项；
选a3=5则有5，7，共有b1=2项；
选a4=7则有7，共有b4=1项．
所以数列B为：4，3，2，1；
(ii)同理数列B为：2，3，2，1，1.
(Ⅱ)证明：设数列A的公差为d，因为d≠0，
当d<0时，数列A为单调递减数列，所以b1=b2=b3=⋯=bn=1，所以B为等差数列．
当d>0时，数列A为单调递增数列，以数列A的任意项a1为首项，
选取长度最大的递增的单调子列为a1ai−1=aai−2…，an−1，
所以b=n−i+1(i=1,2,3,…，n)，所以B为等差数列，
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列．
(Ⅲ)证明：若b1，b2，…，bt2+1中有一个bk≥t+1，
那么数列A存在一个长为t+1的递增子列．
所以A存在一个长度为t+1的单调子列．
若数列A不存在长度超过的递增子列，即0所以在b1，b2，…，b22+1中，至少有t+1个数是相等的．
取其中t+1项，不妨设为bk1=bk2=⋯=bk−1=b，其中k1下面证明当bki=bkj，且kiak，
假设ak构成了以aki为首项长度为b+1的递增子列，与aki为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立．
所以ak>ak，由此可知ak>ak>⋯>ak1+1，
所以ak1ak2，…，ak+1，构成了一个长为t+1的递减子列．
综上，A必存在一个长度为t+1的单调子列．
【解析】(Ⅰ)理解数列新定义，从而得解；
(Ⅱ)对等差数列进行分类：即递减等差数列和递增等差数列，然后根据新定义推导新数列的元素及通项，就可得以证明；
(Ⅲ)利用反证法，结合数列的新定义即可得解．
本题考查新定义、数列的单调性、等差数列、反证法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．组别
年龄(岁)
频率
第一组
[20,40)
37%
第二组
[40,60)
43%
第三组
[60,80)
17%
第四组
[80,100]
3%
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125