北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知全集为R，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则共轭复数
A．B．C．D．
3．在的展开式中，x的系数为（ ）
A．B．C．32D．40
4．已知等差数列满足：，且，则（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
5．已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16B．6C．D．4
6．若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．经过科学实验证明，甲烷分子的结构是正四面体结构（图1），碳原子位于正四面体的中心（到四个顶点距离相等），四个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上，抽象成数学模型为正四面体，O为正四面体的中心，如图2所示，则角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A．有最大值为B．有最大值为
C．有最小值为D．有最小值为
二、填空题（本大题共5小题）
11．双曲线的渐近线方程为 .
12．在中，已知，，.则 .
13．设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量（为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为，则t= .
14．设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 .
15．已知点是曲线上任意一点，有以下四个结论：
①曲线C既是中心对称图形又是轴对称图形；②，；
③点P到坐标原点距离的最大值为；④曲线C所围成封闭区域的面积大于4.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题）
16．设函数
(1)若，求的值.
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：在区间上单调递减；
条件②：；
条件③：为函数图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分，
17．如图1，将边长为2的正六边形沿翻折，使平面与平面垂直，如图2.点M在线段上，平面.

(1)证明：M为线段中点；
(2)求二面角的余弦值.
18．某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望.
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望与（ⅰ）中的大小关系，（结论不要求证明）
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过A的直线l（斜率不为0）与椭圆E的另一个交点为B，线段中点为M，射线交椭圆E于点N，交直线于点Q.求证：.
20．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；
(3)若有两个根，，写出a的范围并证明.
21．已知数列（N是大于3的整数）为有穷数列，定义为“卷积核”数列满足：
(1)若数列，卷积核，求数列B.
(2)设，已知且，，若.求证：数列B中最大的项为，（表示a，b中的最大值）.
(3)已知且不全为0，卷积核，是否存在数列A，使得数列B的任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，可得或，
所以，
故选B.
2．【答案】B
【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可.
详解：由题意可得：，
则其共轭复数.
本题选择B选项.
3．【答案】A
【详解】通项公式，
令，得，
所以x的系数为，
故选A
4．【答案】D
【详解】设公差为，
由，，
得，解得，
所以，
所以.
故选D.
5．【答案】C
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，
由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，
设，
联立方程，可得，解得，
由抛物线的定义可知，.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由于在圆上，圆心为，
要使关于直线的对称点在圆上，
则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合，
故选D.
7．【答案】A
【详解】设函数，其定义域为．
对求导，根据求导公式，可得．
因为，所以，则．
这表明函数在上单调递增．
当时，，即，移项可得．
所以由能推出，充分性成立．
当时，即．
因为，且在上单调递增，所以时，．
这说明当时，不一定有，必要性不成立．
因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
8．【答案】A
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
，
令，则，
所以函数，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以.
故选A.
9．【答案】B
【详解】如图：

设正四面体的棱长为，正三角形中，，
正四面体的高，
设,则中，
,
即,
解得即
则中，
故选B.
10．【答案】C
【详解】设，
由得，故,因此，
故，
由于
，则，
则，
令，
故在上单调递增，由于，
故当在上恒成立，在上恒成立，
故在单调递减，在单调递增，
故当时，取到极小值也是最小值，因此
因此，
故由于恒成立，故，
故选C.
11．【答案】
【详解】双曲线的焦点在x轴上，，
所以渐近线方程为.
12．【答案】/
【详解】由正弦定理可得，故，
故,
13．【答案】
【详解】已知公式，当时，将其代入公式可得：
，所以.
已知，即，两边同时除以可得.
因为，所以.
根据指数的性质，可得，解得.
14．【答案】 1（答案不唯一），
【详解】因为，则时，，在上单调递增，
此时
时，，在上单调递增，此时，
故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足，
结合，则，
故a的一个取值可为1；
时，，令，
则，解得或；
时，，令，
则，解得，
当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意；
当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意；故实数a的取值范围是.
15．【答案】①③④
【详解】将代入，整理得，所以曲线关于原点对称，
同理将代入方程整理后其方程不变，故曲线关于轴对称，故①正确；
取，则，故，
故（增根已舍去），因此②错误，
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
则曲线上任意一点到原点的距离的最大值为；故③正确；
令，可得，
令，
因为，
所以函数有两个零点，
又因为，，
所以两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线上当时，
同理当时，
即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，
所以第一象限内的面积应大于1；
由图象的对称性可得，曲线所围成的区域的面积应大于4，故④正确.
16．【答案】(1)
(2)选择条件①或③，.
【详解】（1）由题意可知，即，
因，则.
（2）条件①：在上单调递减，在上单调递增，且，
则在处取最小值，在处取最大值，
则，，
则，，
因，则，
则；
条件②：因，则不可能成立，故无解析式；
条件③：因，则在处取最大值，
又为函数图象的一条对称轴，且在上单调递增，
则在处取最小值，
则，，
则，，
因，则，
则.
综上可知，若选择条件①或③，则；
若选择条件②，则不存在解析式.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由于平面，平面，平面平面,
故,又,故四边形为平行四边形，
故,由于，故,故M为线段中点，
（2）过作于,过作于，连接,
由于平面与平面垂直,且交线为,平面，
故平面，
平面，故,
又，平面，
故平面
平面，故,
故的补角即为二面角的平面角，
由于故为的中点，则，
由于为等边三角形，为的中点，故,
在直角中，
故二面角的余弦值为

18．【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【详解】（1）已知事件为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”，题中给出有部影片满足该条件，而影片总数为部.
根据古典概型概率公式，所以.
（2）（ⅰ）依题意，的可能取值为，，，，.因为每次抽取事件相互独立，且抽到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率为，共抽取次，所以服从参数，的二项分布，即.
根据二项分布概率公式可得：
，
， ，
，
，
列出的分布列：
.
（ⅱ）确定服从的分布及参数：6部影片中有4部普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片，4名观众任意2名观众不能选看相同影片，所以服从超几何分布，其中，，.
求：根据超几何分布的数学期望公式，可得.
比较大小：因为，，所以.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意可知，解得，
故椭圆方程为
（2）设直线，联立与的方程可得，
设，则,
故，故，
，
故直线的方程为，
联立与椭圆方程可得，解得,
在直线中，令，则，故,
故
，
故
20．【答案】(1)增区间，减区间
(2)
(3)，证明见详解
【详解】（1）由，
故当时，，当时，，
所以的单调增区间为，减区间为.
（2）曲线在处的切线斜率，又，
所以其切线方程为，
令，得，则，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以.
（3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，，
当时，，当时，，
即时，，时，，
若有两个根，则，且，，
要证，即证，又在上单调递减，
即证，又，
即证在上恒成立，
又，即证，
两边取对数，原命题即证在上恒成立，
令，，
，
故在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，故得证.
21．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，理由解析
【详解】（1）,
,
所以数列
（2）方法一：依题意有
当时，
由
又则，
即当时，，
当时，记，
由
即当时，，
综上可得：数列B中最大的项为.
方法二：由已知可得.
当时，，
因为>0,
所以
当时，，
因为