广东省广州市第十六中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省广州市第十六中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8道小题，每题5分）
1. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数导数，根据导数的物理含义，即可求得答案.
【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，
故，故时小球的瞬时速度为（），
故选：A
2. 三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ）
A. 24种B. 81种C. 64种D. 32种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；
【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有种；
故选：C
3. 下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.
【详解】对于A，B，由组合数公式：知，，，所以A、B正确；
对于C，因为 得，所以，所以C正确.
对于D，，，，所以D不正确.
故选：D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数表达式求导，再代入，即可解出的值.
【详解】对求导数得，再取就有，解得.
故选：A.
5. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助的图象，判断和的符号，从而得到答案.
【详解】由图可得：时，，单调递增，则，所以，
时，，单调递减，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，单调递减，则，所以，
时，，单调递增，则，所以，
综上：的解集为；
故选：A
6. 在等比数列中，是函数的极值点，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵，
∴由可知，
∵ 等比数列中且
∴，故选B.
7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可．
【详解】∵函数在区间上为单调递增函数，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，
即实数的取值范围是，
故选：D.
8. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小.
【详解】把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，则.，
令，则在上恒成立，
所以在区间上单调递增，因为，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
故选：C.
二、多选题（共3题，每题6分，若有两个正确选项题，答对一个正确选项得3分；若有三个正确选项，答对一个正确选项得2分；答错一个得0分）
9. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若函数为奇函数，则
D 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D.
【详解】A：由，得，所以，故A正确；
B：由，得，所以，则，故B错误；
C：由为奇函数，得，等式两边同时取导数，
得，即，故C正确；
D：由，且定义域为，
可构造函数，则，
所以为R上的增函数，则，
则，故D正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，则
C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假.
【详解】对A：由，且，解得，故A正确；
对B：由或解得或，故B错误；
对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确；
对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，
故满足条件的排法有：种.故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值点，且
D. 若、，，且在处取极值，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；利用导数的单调性与导数的关系可判断B选项；分析导数符号的变化，求出极值点的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可判断C选项；构造函数，其中，分析函数的单调性，分析可得，结合函数的单调性可判断D选项.
【详解】依题意，，
对于A选项，，，所求切线方程为，A错；
对于B选项，当时，，在区间上单调递增，B对；
对于C选项，、在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，，
则存在唯一，使得，
当时，；当时，，
因此在处取得极小值，
且，
因为，则，所以，
所以，C对；
对于D选项，由题意，
则，令，
则对任意的恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，函数在处取到极小值，
因为，即，
不妨设，则有，
构造函数，其中，
则，
令，则，
构建，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，
当时，，所以，，
所以，函数在上单调递减，则，
故函数在上单调递增，所以，，
即，
因为，则，
因为函数在上单调递增，所以，即，D错.
故选：BC.
三、填空题
12. 已知二项式的展开式：，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】由题意，，故.
故答案为：
13. 若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】设公共点为，
由，（），则，
，则，
所以，解得，
所以， ，
所以切线的方程为，
即.
故答案为：
14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，然后利用等比数列求和公式可得答案.
【详解】设，则，因为，所以，
则处切线为，
切线与轴相交得，则，因为得，
所以，
，
所以.
所以，前个三角形，，，的面积和为
.
故答案为：；.
四、解答题（共5道题）
15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在上的最大值、最小值.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可；
（2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值.
（3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可.
【小问1详解】
由题意可知：，则
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得.
【小问2详解】
因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为.
【小问3详解】
函数在，上单调递增，在上单调递减，
且，
函数在上的最大值,最小值.
16. 已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
（3）若，讨论函数的零点个数.
【答案】（1）增区间，减区间，极小值为，无极大值. （2）图象见详解 （3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值；
（2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象；
（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
【小问1详解】
由，，
则，
令，解得或，令，解得，
所以的单调增区间为，减区间为，，
的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下：
【小问3详解】
由题，的零点个数等价于与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与无交点，
当时，与有且仅有1个交点，
当时，与有2个不同的交点，
综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个不同的零点.
17. 已知函数，，其中为常数.
（1）若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
（2）讨论在上的单调性；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解；
（2）将函数，代入，对函数求导得.对分和两类讨论在上的符号情况即可求解；
（3）令，.依题意，在恒成立，故.结合（2）中在上单调性即可求解.
【小问1详解】
当时，，
∴，，∴，
∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即.
令得，即该切线与轴相交于点；
令得，即该切线与轴相交于点，
∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为.
即函数图象在点处切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为.
【小问2详解】
∵，，
∴，∴.
∵，
∴当时，，，∴，
此时在上单调递增；
当时，∵，令，解得；
令，解得，
此时在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
令，.
依题意，在恒成立，故.
由（2）知：当时，在上单调递增，
此时，解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时显然当时，不符合题意
综上，实数的取值范围.
18. 已知函数.
（1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
（2）讨论的单调性；
（3）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点；
（2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间；
（3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，故，
所以曲线与直线只有一个交点.
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为；
当时，对任意的，，此时函数的增区间为；
当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
【小问3详解】
由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或，
故实数的取值范围是.
19. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．
（2）对a分情况讨论，当时，恒成立，当时，引入隐零点x0 ，在上单调递减，在上单调递增，得时
【小问1详解】
∵f(x)的定义域为
∴当时，，
令，．
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，
则不等式的解集为．
【小问2详解】
①当时，，此时，
令，．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，所以，
又，则，又，所以，
，，此时符合题意．
②当时，，
令，恒成立，
则在上单调递增，又，
，存在唯一的使，且，
所以
当时，，由，
则在上单调递减，
当时，，由，（分开考虑导函数符号）
当时，在上单调递增，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，
由题意则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，即，
综上所述，实数的取值范围为．