广东省广州市第六中学高二下学期期中考试数学试题-A4

这是一份广东省广州市第六中学高二下学期期中考试数学试题-A4，共12页。试卷主要包含了7，推送的概率为0等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，且，则集合B可以是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的导函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B．
C． D．
3．已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A．144B．120C．84D．116
5．关于函数的说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．在上有最小值
C．在上有零点D．的图象是中心对称图形
6．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为
事件，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，则S的个位数字是（ ）
A．0B．3C．4D．8
8．如图，直线与曲线相切于两点，
则函数在上的极大值点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10．已知，则（ ）
A． B．C．D．
11．由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．关于直线对称
B．的弦长最大值大于
C．直线被截得弦长的最大值为
D．的面积小于
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知函数，为的导函数，则的值为 .
13．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率为 ；
(2)这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率为 ．
14．已知点，分别是函数与图象上的点，
则的最大值为
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于D，且，求面积的最小值．
16．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求其通项公式．
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
18．某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．
学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表：
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
(1)试分别估计甲在区，区投篮命中的概率；
(2)若甲在区投3个球，在区投2个球，
（ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望；
（ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率；
(3)若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，求甲选择在区投篮的最多次数．
19．在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的
方法数

图一 图二
(1)当时，求
(2)当时，找出的关系，并求出的通项公式.
(3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数.
2023级高二下学期数学期中考试
参考答案
12．13．(1) (2)14．
4.【详解】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法.故选：B.
5.【详解】∵，在上恒成立，函数在上单调递增，
∴不可能是周期函数，且在上无最值，故A，B错误；
又∵，，∴在上无零点，故C错误；
∵，
∴，
∴的图象关于点对称，故D正确
6.【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.故选：D.
7.【详解】，，，，，从开始一直到的个位数字都是0．
所以要求S的个位数字，则只要将前面五个数加起来，即．
所以S的个位数字就是4.故选：C．
8.【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【详解】由题，，则，
作出与直线平行的函数的所有切线，如图，
各切线与函数的切点的横坐标依次为，
则在，处的导数都等于，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与比较，就能结合图象得出的正负取值情况，从而可得极值点的情况.
9.【详解】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，
即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，
则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，
可在同一坐标系中作出密度曲线，
易知，故A错误；
由原则可知，故B正确；
对于C选项，的密度曲线关于t=34对称，因为两密度曲线的右交点为38，所以结合图象，左交点大于30，故C错误。还能具体计算判断：根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，，建立方程，
整理可得，
则，故C错误；
易知，故D正确.故选：BD
10.【详解】由题意，，
知，，故A，B正确；
分别令，1和，得，，
，
所以，，
即，，所以C错误，D正确.故选：ABD.
11.【答案】ACD
【详解】对于A：由，
所以函数的反函数为，
所以关于直线对称，故A正确；
对于B：有.
设，则，
由.
由，
所以在上单调递减，在上单调递增.
且，所以存在，使得，另.
所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，
则，所以，
结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误；
对于C：因为直线与直线垂直，
设为曲线的切线，由，
所以切点为，所以切线方程为.
直线与的距离为.
所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确；
对于D：由，所以B中.
过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，
过，做切线的垂线，与两切线分别交于，
如图所示，构成矩形，
该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积.
又，
所以矩形的面积为.所以D正确.
故选：ACD.
13.【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知：
，，，，
又，所以，
（2）设平台向该用户推送为事件，
则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：，
因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以，
因为，所以，
即，
所以.
14.【详解】由题意可知，，即，
又，，所以，则.
设，则，所以在上单调递增，
所以，则，所以，则.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为
15.（1）由余弦定理，得——————2分
即整理得，
所以，——————4分
又，所以．——————6分
（2）因为——————9分
所以．
因为，即
当且仅当时等号成立（没写等号成立条件扣1分）
所以．故面积的最小值为．——————13分
16.（1）因为，所以，——————1分
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，——————5分
因为为正实数，所以为正实数，.——————6分
（2）因为，所以，
，
由题意，——————11分
又，故是首项为，公比为的等比数列.———13分（首项和公比各1分）
得到.——————15分
17.（1）因为，
则，——————2分
①当时，，由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；——————4分
②当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为；——————6分
③当时，，
当时，，则，
当时，，则，
此时，函数在上单调递增；——————8分
④当时，，则，
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为，，减区间为.——————10分
（2）因为
对任意的，有，所以时，——————12分
即，——————13分
令，则，
所以，函数在上单调递减，则，故，
因此，实数的取值范围是.——————15分
18.（1）甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为，——————1分
甲在区投篮30次，投进15次，所以估计甲在区投篮进球的概率为.——————2分
（2）据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为．
（ⅰ）所有可能的取值为
，，
，，
的分布列为
——————6分（每个概率1分）
的数学期望.——————7分
（ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”
甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是．
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：
区2分区0分，概率估计为，
区4分区0分，概率估计为，
区4分区3分，概率估计为，
区6分区0分，概率估计为，
区6分区3分，概率估计为，——————12分（每种情况1分）
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为——————13分
（3）甲在A区投篮一次得分的期望为：，——————14分
甲在B区投篮一次得分的期望为：，——————15分
设甲在A区投篮次，则在B区投篮次，
则总的期望值，解得，
所以甲选择在区投篮的次数最多是3次.——————17分
19.【答案】（1）由题意，用3种颜色给有4个区域的圆环涂色，要求相邻区域不同色，
先给涂色，有种方法，
接下来，若与同色，则有2种涂色方法，即种；若与不同色，则都只有1种涂色方法，
所以，.——————3分
（2）先考虑的取值：
假设不区分是否同色，则用种颜色涂这个区域等价于对以下区域涂色：
因此共有 种，但是这其中包含了同色的情况；因此的取值应该减去同色的情况；
而同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即则用种颜色给个区域涂色，
其方法数也就是，所以有：——————7分
接下来，利用递推关系求，
由，两边同除以得：，
移项得：——————9分
利用累加法：
，
又因为，——————10分
所以 ，
所以，——————14分
（3）先给中间的区域涂色，共有种方法，接下来就是用剩下的种颜色涂含有个区域的“圆环涂色问题”，即（2）中的，
甲
区
区
投篮次数
30
20
得分
40
30
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
B
D
D
C
D
BD
ABD
ACD
0
2
4
6