广东省广州市第六中学高一下学期期中考试数学试题-A4

这是一份广东省广州市第六中学高一下学期期中考试数学试题-A4，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ）
A．B．C．D．
4．中，角对边分别为，若，则形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
5．设是三条不同直线，是三个不同平面，若，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则异面
C．若，，，则 D．若，，则
6．已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知正四棱台，，分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的集合所构成的图形的面积为
B．若点坐标为，且是实系数方程的一个根，则
C．若，则或
D．若是纯虚数，则的共轭复数
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为线段上一个动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．存在点G，使得平面截正方体所得截面为正六边形
11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4
二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 .
13．若向量与不共线也不垂直， 且， 则 .
14．设函数在区间上恰有2个最值点和2个零点，则的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5个小题，共77分，其中书写分3分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知平面向量，，，．
(1)若，求x的值；
(2)若，求的值；
(3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围．
16．（13分）在中，角的对边分别为.且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求.
17．（15分）如图，正方体的棱长为2，为中点，与平面交于点.
(1)求证：为的中点；
(2)求到平面的距离.
18．（17分）2024年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.广州市积极响应国家号召，不断探索低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距100km的A，B两集散点到海岸线为直线距离均为（如图），计划在海岸线l上建造一个港口C，在A，B两集散点及港口C间开展无人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为，需在A，B，C之间设置补能点（无人机需经过补能点更换电池），且，，设.
(1)当时，求无人机从A到C运输航程的值；
(2)求的取值范围.
19．（17分）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题：
（1）碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数；
（2）规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数；
（3）如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体.