广东省广州市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 若集合，，则的子集的个数为（ ）
A 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据指数不等式求出集合，即可求出，从而判断其子集个数.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以，则的子集有个.
故选：C
2. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数，进而可得出复数的虚部.
详解】，因此，.
因此，复数的虚部为.
故选：D.
【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知，则
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，化简，
解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求解问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面投影向量的求法计算，即可求解.
【详解】由，得，
所以在上的投影向量为．
故选：C．
5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，，
解得.
故选：C.
6. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.
【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：
因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，
易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，
因为，则，又，且，
由，即，解得；
由面，面，则；
则，
又正方形的面积为，正方形的面积为，
故正四棱台的体积.
故选：B.
7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ）
A. 小时B. 小时C. 5小时D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过1%，列出方程，即可求出结论．
【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则由，
即，
∴，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%，
又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.
故本题选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题.
8. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A. B. 16C. D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，则，
由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分）
9. 设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若l上有两点到的距离相等，则
C. ，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则
D. 若，，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面平行的判断定理及性质定理，逐一分析各选项即可求解.
【详解】解：对A：若，，则或，故选项A错误；
对B：若l上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B错误；
对C：，，两两相交于三条直线l，m，n，若，由线面平行的判断定理及性质定理可得，故选项C正确；
对D：若，，，，则或与相交，故选项D错误.
故选：ABD.
10. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则最小值为
D. 点在所在平面且，，则点的经过的外心
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A：∵，，，即，即，
∴此三角形有两个解，故A正确；
对于B，由，由余弦定理可得，
整理可得，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：因为，因为，则，则，
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，故的最小值为，故C正确；
对于D：设线段的中点为，连接，

由，可得，所以，
由，
可得，
所以
，即，
所以点的轨迹经过的外心，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为O，则为定值2
C. 若，则点Q的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，取的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D，把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度.
此时有最小值.
【详解】对于A，取的三等分点分别为，如图所示，

因为，所以，
令，，则，所以．
因为，
所以的面积为定值，点P到平面的距离也是定值，故A正确．
对于B，

若的外心为O，过点O作于点H，则H是的中点．
因为，
所以，故B错误．
对于C，

在平面中作，
显然平面，由长度和角度，可得．
在中，，
所以，则点Q在以为圆心，为半径的圆上运动．
设此圆与交于点，因为且，
所以，则点Q的轨迹长度是．故C正确．
对于D，若且，则点Q与点P重合．
把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，

此时有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．
在中，，，，满足勾股定理，
所以，从而，
在中，由余弦定理得，故D正确．
故选：ACD
【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 若指数函数（，且）过，则___________.（将结果化为最简）
【答案】5
【解析】
【分析】代入，求出函数解析式，再计算出函数值.
详解】由题意得，又，且，故，
所以，.
故答案为：5
13. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______．
【答案】
【解析】
分析】由正三棱锥性质求得外接球半径后可得表面积．
【详解】如图，是的外心，是高，在上，设，
，，
所以由得，解得，
表面积为．
故答案为：．
14. 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理得到，不妨设，由解出，得到，利用二倍角公式和弦化切即可得到答案.
【详解】△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，
由正弦定理知：，即.
设且k>0.由得.
在△ABC中,,
所以 ,即，解得：（舍去）.
所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】在解三角形中，选择合适的公式，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
四．解答题（共4小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）平面，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明出四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定即可说明；
（2）由，根据三棱锥的体积公式即可计算求解．
【小问1详解】
平面，理由如下：
连接，如图所示，
因为直三棱柱中，为的中点，
所以，且
因为，分别，的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故平面．
【小问2详解】
因为直三棱柱，所以平面平面，
又平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，所以点到平面的距离为，
由（1）得，，则，
所以三棱锥的体积为：．
16. 已知函数（其中）的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知，，，
，由于，
所以，所以.
【小问2详解】
将函数的图象上的所有点向右平移，得到，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
由得，此时，
所以要使函数在有零点，则.
17. 如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，.

（1）试用表示向量；
（2）求的值.
（3）延长线段交于，设，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）首先用、表示向量，再根据数量积的运算律计算可得；
（3）首先用、表示向量，由于与共线，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
所以
.
【小问3详解】
设，
，
由于与共线，则，
即，
即，解得，即.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．
（1）求角A；
（2）若，求周长的最大值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理与得到，从而求出；
（2）由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值；
（3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到，换元后，配方求出最值，得到取值范围.
【小问1详解】
，由正弦定理得，
，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
所以，
因为，所以，
故，解得；
【小问2详解】
由（1）知，
又，由余弦定理得，
即，
所以，
由基本不等式可知，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的周长最大值为；
【小问3详解】
由（1）知，
则
，
令，
因为，所以，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围．
【答案】（1）不是的“2重覆盖函数”，理由见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得对任意，存在2个不同的实数，使得 （其中），即，分、、分别求解即可；
（3）由题意可得，则有对于任意，，要有2024个根，作出函数的图象，结合图象求解即可.
【小问1详解】
解：由，可知，
函数的图象如图所示：

当时， ，
当时，解得，
此时在中只存在一个，使，
所以不是的“2重覆盖函数”；
【小问2详解】
解：由题意可得 的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，
使得 （其中），
，则，
，即，
即对任意，有个实根，
当时，已有一个根，
故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，，，若仅有1个根，
由，知，
当时，，所以无解，
则只需，解得，
综上，实数的取值范围是；
【小问3详解】
解：因为，
当时，，当时，且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意，，要有2024个根，
，作出函数的图象（部分），如图：

要使，有2024个根，则，
又，则，
故正实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“重覆盖函数”的定义的定义及作出函数的图象.