广东省广州市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省广州市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了若集合，，，则的子集的个数为，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，，则的子集的个数为
A．1B．2C．4D．8
2．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为
A．B．C．D．
3．已知，则
A．B．C．D．6
4．已知向量，则在上的投影向量的坐标为
A．B．C．D．
5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为
A．B．C．D．
7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原来的，已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为：为正的常数，为原污染物数量）．若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤
A．小时B．小时C．5小时D．小时
8．设函数，若关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为
A．B．16C．D．17
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分）
9．设，，为三个平面，，，为三条直线，则下列说法不正确的是
A．若，，则
B．若上有两点到的距离相等，则
C．，，两两相交于三条直线，，，若，则
D．若，，，，则
10．对于中，有如下判断，其中正确的判断是
A．若，，，则符合条件的有两个
B．若，则为等腰三角形
C．若，则的最小值为
D．点在所在平面且，则点的经过的外心
11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，，，，则下列结论中正确的是
A．若，则四面体的体积为定值
B．若△的外心为，则为定值2
C．若，则点的轨迹长度为该试卷源自 每日更新，享更低价下载。D．若且，则存在点，使得的最小值为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12．若指数函数过，则 （将结果化为最简）
13．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为 ．
14．已知的三个角，，的对边分别为，，，满足，则 ．
四．解答题（共4小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）
15．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
（1）判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥的体积．
16．已知函数（其中的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
17．如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，．
（1）试用表示向量；
（2）求的值．
（3）延长线段交于，设，求实数的值．
18．在中，角，，所对的边分别是，，，且满足．
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值；
（3）求的取值范围．
19.已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求出正实数的取值范围.