福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题含答案

这是一份福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 已知 a=2,3,1,b=1,−2,−2 ,则 a 在 b 上的投影向量为 ( )
A. 2b B. −2b C. 23b D. −23b
2. 由直线 y=x+1 上的点向圆 x−32+y2=1 作切线，则切线长的最小值为( )
A. 1 B. 7 C. 22 D. 3
3. 若函数 fx=x3−12x 在区间 k−1,k+1 上单调，则实数 k 的取值范围是( )
A. −∞,−3∪−3,−1∪3,+∞ B. −∞,−3]∪−1,1∪[3,+∞
C. −2,2 D. 不存在这样的实数 k
4. 已知数列 an 满足 a1=1,an+1=anan+2 ,设 1an 的前 n 项和为 Sn ,则 a2024S2024+2024= ( )
A. 22024−1 B. 22024−2 C. 1 D. 2
5. 先后抛掷质地均匀的硬币 4 次, 得到以下结论:
①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间
②事件“至少 2 次正面朝上”与事件“至少 2 次反面朝上”是互斥事件
③事件“至少 1 次正面朝上”与事件“4 次反面朝上”是对立事件
④事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是 14
以上结论中，错误的个数为( )个
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6. 如图已知矩形 ABCD,AB=1,BC=3 ，沿对角线 AC 将 △ABC 折起，当二面角 B−AC−D 的余弦值为 −13 时，则 B 与 D 之间距离为( )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 102
7. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点， AF⊥BF ， 线段 AB 的中点为 M ,过点 M 作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为 N ,则 ABMN 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
8. 已知 fx=x+sinx−12+12 ,数列 an 满足:
an=f1n+1+f2n+1+f3n+1+⋯+fnn+1 ,数列 bn 满足 b1=52,b2=92 ,
bn+2=4bn−32 ，定义 x 表示不超过 x 的最大整数，则数列 an+2anan+1bn 的前 7 项和为( )
A. 5111024 B. 10232048 C. 20472048 D. 10231024
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 已知 a=3,−2,−3,b=−1,x−1,1 ，且 a 与 b 夹角为钝角，则 x 的取值可以是( )
A. -2 B. 1
C. 53 D. 2
10. 设抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，点 M 在抛物线 C 上，点 N0,3 ，若 MF=10 ,且 NM⊥NF ,则抛物线 C 的方程可以为 ( )
A. y2=3x B. y2=4x C. y2=36x D. y2=18x
11. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E 为 AD 中点,动点 P 在正方形 A1B1C1D1 内(含边界)，则( )

A. 若 AP=2 ，则点 P 的轨迹长度为 π4
B. 若点 P 在线段 B1D1 上，则 AC1⋅EP 为定值
C. 若点 P 与点 D1 重合,则三棱锥 E−BCP 的外接球表面积为 25π8
D. 若 BP 与 BB1 的夹角为 π4,Q 为线段 BD1 上的动点,则 PQ+33BQ 的最小值为 1
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若两条直线 l1:x+2y−6=0 与 l2:x+ay−5=0 平行，则 l1 与 l2 间的距离是_____.
13. 已知数列 an 的通项公式为 an=n22nn∈N∗ ，则数列 an 的最大项为_____项_____项.
14. 如图,椭圆焦点三角形的 ∠F1AF2=90∘,AB 为 ∠F1AF2 的角平分线且 AB=2BD ,则椭圆离心率为_____.

四、本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方, 下一局比赛将作为后手. 在每一局比赛中若甲方先手, 则该局甲获胜的概率为 23 ; 若甲方后手,则该局甲获胜的概率为 25 .
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率.
16. 四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD,PA=CD=1,AB=BC=2,PC=3 ， AB//CD .

(1)求证: BC⊥ 平面 PAB ；
(2)求二面角 A−PD−C 的余弦值.
17. 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与直线 l:4x+3y−6=0 切于点 M35,65 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)已知 N2,1 ，经过原点且斜率为正数的直线 l1 与圆 C 交于 Px1,y1 ， Qx2,y2 . 求 PN2+QN2 的最大值.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为 42 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 B0,mm>0 的直线 l 与椭圆C相交于 E,F 两点，点 B 关于原点的对称点为 D ,若点 D 总在以线段 EF 为直径的圆内,求 m 的取值范围.
19. 已知函数 fx=lnx−ax+1 ,其中 a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 的最值；
(2)①若 fx≤0 恒成立，求 a 的最小值；
② 证明: 1+12+13+⋯+1n>lnn+1 ,其中 n∈N∗ .
1. D
a⋅bb2⋅b=2,3,1⋅1,−2,−212+−22+−22⋅b=2−6−29⋅b=−23⋅b ,
故 a 在 b 上的投影向量为 −23b .
故选: D.
2. B
切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心 3,0 到直线的距离为 d=3−0+12=22 ,
圆的半径为 1 ,
故切线长的最小值为 d2−r2=8−1=7 ,
故选: B.
3. B
∵fx=x3−12xx∈R ,
∴f′x=3x2−12 ,
令 f′x=3x2−12=0 ,解得: x=−2 或 x=2 ,
当 x∈−∞,−2 时， f′x>0 ， fx 单调递增，
当 x∈−2,2 时， f′x0 ， fx 单调递增，
∵ 函数 fx=x3−12x 在区间 k−1,k+1 上单调,
∴k−1,k+1⊆−∞,−2 或 k−1,k+1⊆−2,2 或 k−1,k+1⊆2,+∞
若 k−1,k+1⊆−∞,−2 ,则 k+1≤−2 ,解得 k≤−3 ,
若 k−1,k+1⊆−2,2 ,则 k−1≥−2k+1≤2 ,解得 −1≤k≤1 ,
若 k−1,k+1⊆2,+∞ ,则 k−1≥2 ,解得 k≥3 ,
综上所述,实数 k 的取值范围是 −∞,−3]∪−1,1∪[3,+∞ .
4. D
因为 an+1=anan+2 ,所以 1an+1=an+2an=2an+1 ,
所以 1an+1+1=21an+1 且 1a1+1=2 ,
所以 1an+1 是首项为 2 公比为 2 的等比数列,
所以 1an+1=2n ,所以 1an=2n−1,an=12n−1 ,
所以 a2024S2024+2024=122024−1×21−220241−2−2024+2024 ,
所以 a2024S2024+2024=122024−1×−21−22024=2 ,
故选: D.
5. A
对于①, 可以从不同角度定义样本空间,
例如: 以 4 次抛掷的有序结果为样本点,构成 24=16 个等可能样本点的样本空间,是古典概型;
若以正面出现的次数为结果,构成含有 5 个样本点的样本空间 {0,1,2,3,4} ,
但各样本点不是等可能的, 不是古典概型;
由于可以构建不同的样本空间, 故①正确；
对于②，事件“至少 2 次正面朝上”为 2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
事件“至少 2 次反面朝上”为 2 反 2 正，3 反 1 正，4 反，不互斥，故②错误；
对于③，事件“至少 1 次正面朝上”为 1 正 3 反，2 正 2 反，3 正 1 反，4 正，
与事件“4 次反面朝上”互为对立事件，故③正确；
对于④，基本事件样本总数为 24 ，事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”有 C41=4 种，
所以事件“1 次正面朝上 3 次反面朝上”发生的概率是 416=14 ，故④正确，
所以，错误的个数为 1 个.
6. C
解: 过 B 和 D 分别作 BE⊥AC,DF⊥AC ,

∵ 在矩形 ABCD,AB=1,BC=3,∴AC=2 ,
∵S△ABC=S△ADC, ∴12AB⋅BC=12AC⋅BE
∴BE=DF=32 ,
则 AE=CF=12 ,即 EF=2−1=1 ,
∵ 平面 ABC 与平面 ACD 所成角的余弦值为 −13 ,
∴cs=−13 ,
∵BD=BE+EF+FD ,
∴
BD2=BE+EF+FD2=BE2+EF2+FD2+2BE⋅EF+2FD⋅BE+2EF⋅FD=34+1+34−2EB⋅FDcs=52−2×32×32×−13=52+12=3 ,
则 BD=3 ,
即 B 与 D 之间距离为 3 ,
故选: C.
7. B
设 AF=m,BF=n ,
因为 AF⊥BF ,所以 AB=m2+n2 ,
过点 A,B 分别作 AG,BW⊥ 准线于点 G,W ,
由抛物线定义可知 AF=AG,BF=BW ,
由梯形中位线可知 MN=AG+BW2=AF+BF2=m+n2 ,

因为 m2+n2≥2mn ,所以 2m2+n2≥2mn+m2+n2=m+n2 ,
当且仅当 m=n 时,等号成立,
故 AB=m2+n2≥m+n2=2MN ,
故 ABMN≥2,ABMN 的最小值为 2 .
故选: B
8. D
由 fx=x+sinx−12+12 ,
则 fx+f1−x=x+sinx−12+12+1−x+sin12−x+12=2 ,
由 an=f1n+1+f2n+1+f3n+1+⋯+fnn+1 ,
得 an=fnn+1+fn−1n+1+fn−2n+1+⋯+f1n+1 ,
则 2an=f1n+1+fnn+1+f2n+1+fn−1n+1+f3n+1+fn−2n+1
+⋯+fnn+1+f1n+1=2n ,即 an=n ,
由 bn+2=4bn−32 ,得 bn+2−12=4bn−12 ,
则数列 bn−12 的奇数项是以 52−12=2 为首项，4 为公比的等比数列，
偶数项是以 92−12=4 为首项，4 为公比的等比数列，
则数列 bn−12 为: 2,4,8,16,32,64,⋯ ,
显然数列 bn−12 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
则 bn−12=2n ,即 bn=2n+12 ,则 bn=2n ,
所以 an+2anan+1bn=n+2nn+1⋅2n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n ,
则数列 an+2anan+1bn 的前 7 项和为
1−12⋅21+12⋅21−13⋅22+13⋅22−14⋅23+⋯+17⋅26−18⋅27=1−18⋅27=10231024 .
故选: D
9. BD
由题意得 a⋅b−2 且 x≠53 ,所以 B 和 D 选项正确, A 和 C 选项错误, 故选: BD.
10. BC

设 Mx1,y1 ,因为 MF=10 ,所以 x1+p2=10 ,
因为 NM⊥NF ,所以 NM⋅NF=0 ,
即 x1,y1−3⋅p2,−3=0 ,所以 p2x1−3y1−3=0 ,所以 y124−3y1−3=0 ,
解得 y1=6 ,所以 36=2px1=2p10−p2 ,解得 p=2 或 p=18 ,
所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=36x .
故选:BC.
11. BCD
对于 A,AP=2⇔A1P=1 ,则 P 在以 A1 为圆心,半径为 1 的四分之一圆周上, 如图(1)

∴ 轨迹长度为 2π×14=π2 ,故 A 错误;
对于 B ,如图(2)所示，

设 B1P=λB1D1, λ∈0,1 ,
∴EP=EA+AB+BB1+B1P=−12AD+AB+AA1+λB1D1=λ−12AD+1−λAB+AA1 ,
又 ∵AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1 ,
∴AC1⋅EP=1−λAB2+λ−12AD2+AA12=1−λ+λ−12+1=32 ,故 B 正确.
对于 C ,方法一,如图(3)所示， EB=EC=52 ，
取 BC 中点 F ，连接 EF ，则等腰 △BCE 的外接圆圆心 O1 在 EF 上，

(3)
∴△BCE 外接圆半径 r=O1E ,依题意易知, sin∠EBC=255 ,
根据正弦定理可知， ECsin∠EBC=2r⇒r=58 ，在 Rt△BCP 中，外心 O2 为 BP 中点， 连接 EO2 并延长交 B1C1 于点 G ,易知 EG⊥ 平面 BCP ,
过点 O1 作平行于 DD1 的垂线交 EG 于点 O ,
即 O 为三棱锥 E−BCP 的外接球球心, ∵∠GEF=π4 ,
∴ 外接球半径 R=O1Esin∠GEF=528,∴S球=4πR2=25π8 ,故 C 正确.
方法二,以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则 E12,0,0,D10,0,1,B1,1,0,C0,1,0 ,
设球心 Mx,y,z,MA=MB=MC=MD1=R ,
∴x−122+y2+z2=R2x2+y2+z−12=R2x−12+y−12+z2=R2z=58 ,解得 x=12y=58,z=58
∴R2=ME2=2532,∴S球=4πR2=25π8 ,故 C 正确.
对于 D ,

由 BP,BB1=π4 知,点 P 在以 B1 为圆心,1 为半径的圆弧上,
连接 B1D1 ,由对称性可知,当点 P 位于 B1D1 上时, PQ 最小,过 Q 作 QG⊥BD 于 G , 在 Rt △QGB 中, sin∠QBD=sin∠D1BD=33,∴33BQ=QG ,
故 PQ+33BQ=PQ+QG ,如图在平面 BDD1B1 中,过点 P 作 PM⊥BD 于点 M , 则 PQ+QG≥PM=DD1=1 ,故 D 正确.
故选: BCD.
12. 55
∵ 两条直线 l1:x+2y−6=0 与 l2:x+ay−5=0 平行,
∴a−2×1=0 解得 a=2 ,
经检验 a=2 时, l2:x+2y−5=0 ,两直线不重合;
所以 a=2 ,
则 l1 与 l2 间的距离 −6+51+4=55 ,
故答案为: 55 .
13. 3
依题意, an=n22nn∈N∗ ,
则 a1=12,a2=44=1,a3=98,a4=1616=1,a5=2532 ,
当 n≥5 时, an+1−an=n+122n+1−n22n=n+12−2n22n+1=−n2+2n+12n+1=−n−12+22n+10 ,
所以 0