八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法第2课时教案设计

这是一份八年级下册（2024）19.2 二次根式的乘法与除法第2课时教案设计，共4页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●归纳导入 1.计算：
(1) eq \r(5)× eq \r(7)＝__ eq \r(35)__；(2) eq \r(\f(1,3))× eq \r(9)＝__ eq \r(3)__；
(3) eq \r(9)× eq \r(27)＝__9 eq \r(3)__；(4)5 eq \r(3)×4 eq \r(2)＝__20 eq \r(6)__．
2．填空：
(1) eq \f(\r(4),\r(25))＝__ eq \f(2,5)__， eq \r(\f(4,25))＝__ eq \f(2,5)__；(2) eq \f(\r(9),\r(36))＝__ eq \f(1,2)__， eq \r(\f(9,36))＝__ eq \f(1,2)__；
(3) eq \f(\r(64),\r(81))＝__ eq \f(8,9)__， eq \r(\f(64,81))＝__ eq \f(8,9)__；(4) eq \f(\r(25),\r(100))＝__ eq \f(1,2)__， eq \r(\f(25,100))＝__ eq \f(1,2)__．
规律： eq \f(\r(4),\r(25))__＝__ eq \r(\f(4,25))； eq \f(\r(9),\r(36))__＝__ eq \r(\f(9,36))； eq \f(\r(64),\r(81))__＝__ eq \r(\f(64,81))； eq \f(\r(25),\r(100))__＝__ eq \r(\f(25,100)).
3．问题：你能说出你发现的规律吗？
【归纳】两个二次根式相除，根指数__不变__，被开方数__相除__．用字母表示： eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0).
【教学与建议】教学：利用具体数据，通过学生的练习活动，发现规律，归纳出二次根式的除法法则．建议：教学中教师要注意引导学生自己去发现、探索、理解．
●类比导入 师：我们是怎样得到二次根式的乘法法则的？
生：从特殊的几个算式中归纳出来的．
师：接下来，我们用类似的方法来研究二次根式的除法．
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？
(1) eq \f(\r(4),\r(49))＝__ eq \f(2,7)__， eq \r(\f(4,49))＝__ eq \f(2,7)__；(2) eq \f(\r(16),\r(36))＝__ eq \f(2,3)__， eq \r(\f(16,36))＝__ eq \f(2,3)__．
问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
(1) eq \f(\r(2),\r(9))__＝__ eq \r(\f(2,9))；(2) eq \f(\r(5),\r(11))__＝__ eq \r(\f(5,11)).
【教学与建议】教学：类比前面二次根式乘法的研究方法来研究二次根式的除法，感受二次根式除法运算法则．建议：教学时，让学生交流讨论学习二次根式乘法的经验，类比学习二次根式除法法则．
命题角度1 eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)的计算
两个二次根式相除，用根号前面的系数与系数相除，根号内被开方数相除．要注意将结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
【例1】计算 eq \r(\f(2,3))÷ eq \r(\f(3,2))的结果是(B)
A．1 B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,2) D．以上答案都不对
【例2】下列运算正确的是(D)
A． eq \r(50)÷ eq \r(5)＝10 B． eq \r(10)÷2 eq \r(5)＝2 eq \r(2)
C． eq \r(32＋42)＝3＋4＝7 D． eq \r(27)÷ eq \r(3)＝3
命题角度2 分母有理化
分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘适当的二次根式；二是根据题目的特点，把分母或分子适当地分解因式，再约分．
【例3】把下列式子中的分母的根号化去：
(1) eq \f(3,\r(2))； (2) eq \f(\r(5),\r(48))； (3) eq \f(a－4,\r(a)＋2).
解：(1) eq \f(3,\r(2))＝ eq \f(3×\r(2),\r(2)×\r(2))＝ eq \f(3\r(2),2)；
(2) eq \f(\r(5),\r(48))＝ eq \f(\r(5),4\r(3))＝ eq \f(\r(5)×\r(3),4\r(3)×\r(3))＝ eq \f(\r(15),12)；
(3) eq \f(a－4,\r(a)＋2)＝ eq \f((\r(a))2－22,\r(a)＋2)＝ eq \f((\r(a)＋2)(\r(a)－2),\r(a)＋2)＝ eq \r(a)－2.
命题角度3 最简二次根式
符合以下两个条件的根式是最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【例4】下列各式是最简二次根式的是(A)
A． eq \r(15) B． eq \r(0.7) C． eq \r(a2) D． eq \r(\f(1,3))
【例5】把下列各个二次根式化为最简二次根式．
(1) eq \r(54)＝__3 eq \r(6)__；(2) eq \r(2.5)＝__ eq \f(\r(10),2)__．
命题角度4 二次根式的乘除法混合运算
二次根式混合运算的技巧与注意点：(1)可先对每一个二次根式化简，再计算；(2)根号外的系数与根号内的被开方数要分步计算；(3)二次根式乘除法混合运算仍是按从左到右的顺序进行，如果有括号，就先算括号里的．
【例6】计算 eq \r(1\f(1,3))÷ eq \r(2\f(1,3))÷ eq \r(1\f(2,5))的结果正确的是(A)
A． eq \f(2\r(5),7) B． eq \f(2,7) C． eq \r(2) D． eq \f(\r(2),7)
【例7】计算：
(1) eq \r(12)÷ eq \r(27)×(－ eq \r(18))＝__－2 eq \r(2)__；
(2) eq \f(\r(27)×\r(12),\r(3))＝__6 eq \r(3)__．

高效课堂 教学设计
1．理解 eq \f(\r(a),\r(b))＝ eq \r(\f(a,b))(a≥0，b>0)和 eq \r(\f(a,b))＝ eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)，并能利用它们进行计算和化简．
2．利用具体数据，发现规律，归纳出二次根式的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式，能利用它们进行计算和化简．
▲重点
二次根式除法公式的理解、运用和逆运用．
▲难点
发现规律，探索二次根式的除法法则．
◆活动1 新课导入
1．回顾二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
2．计算：
(1) eq \r(8)× eq \r(\f(1,2))；(2) eq \r(16)× eq \r(8)；(3) eq \r(6×8×24).
3．计算下列各题，观察有什么规律？
(1) eq \f(\r(36),\r(49))＝__ eq \f(6,7)__， eq \r(\f(36,49))＝__ eq \f(6,7)__， eq \f(\r(36),\r(49))__＝__ eq \r(\f(36,49))；
(2) eq \f(\r(9),\r(16))＝__ eq \f(3,4)__， eq \r(\f(9,16))＝__ eq \f(3,4)__， eq \f(\r(9),\r(16))__＝__ eq \r(\f(9,16)).
◆活动2 探究新知
1．教材P8 探究．
提出问题：
(1)你能完成探究中的计算吗？
(2)通过计算，你能得出二次根式的除法法则吗？
(3)二次根式的除法法则反过来成立吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P8 例5.
提出问题：
(1)观察例5中的计算结果，你能发现什么特点？
(2)由此你能得出什么样的二次根式叫作最简二次根式？
(3)如何把二次根式化为最简二次根式？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．二次根式的除法法则： eq \f(\r(a),\r(b))＝__ eq \r(\f(a,b))__(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
2．二次根式的除法法则的逆用： eq \r(\f(a,b))＝__ eq \f(\r(a),\r(b))__(a≥0，b>0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含__分母__；
(2)被开方数中不含__能开得尽平方的因数或因式__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P8 例4.
例2 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) eq \r(3.5)；
解：原式＝ eq \r(\f(7,2))
＝ eq \f(\r(14),2)；
(2) eq \r(1\f(4,5))；
解：原式＝ eq \r(\f(9,5))
＝ eq \f(3\r(5),5)；
(3) eq \r(\f(27,3x)).
解：原式＝3 eq \r(\f(1,x))
＝ eq \f(3\r(x),x).
例3 教材P9 例6.
例4 长方形的长为3 eq \r(10)，面积为30 eq \r(6)，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形，求该正方形的面积．
解：∵30 eq \r(6)÷3 eq \r(10)＝2 eq \r(15)，而3 eq \r(10)>2 eq \r(15)，
∴面积最大的正方形的边长是2 eq \r(15)，
∴正方形的面积是(2 eq \r(15))2＝60.
练习
1．教材P10 练习第1，2，3题．
2．若 eq \r(\f(a,2－a))＝ eq \f(\r(a),\r(2－a))，则a的取值范围是( C )
A．a