安徽安庆市外国语学校2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试卷

这是一份安徽安庆市外国语学校2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，时间120 分钟）
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1. 下列各选项的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，点A，B在格点上，若，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块
6. 若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
7. 如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A. 6B. 12C. 12D. 24
8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A. 最大电流是B. 最大电流是
C. 最小电流是D. 最小电流是
9. 如图，放置含30°直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（ ）
A. 3B. 3C. 6D. 9
10. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）

A. B. C. 或D. 或
二、填空题（本大题4题，每题5分，共20分）
11. 平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是________．
12. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________．
13. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
14. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时，______，线段长的最小值为______．
三、解答题（共9小题，15-18，每题8分，19、20，每题10分，21、22，每题12分，23 题14分，共90分）
15. 计算：．
16. 已知．
（1）求的值；
（2）当时，求的值．
17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为．

（1）在第一象限画出以原点O为位似中心的位似图形，使与的位似比为；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转后的．
18. 某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为42米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，平行于水平线长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）

19. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价什么范围内时，日获利w不低于元？
21. （1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数．
（2）已知，均为锐角，，，则________；
（3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求值．
22. 如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数；
（3）如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点．
23. 规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．x（元/ ）
7
8
9
y（）
安庆市外国语学校2025-2026学年第一学期
九年级期末考试数学试卷
（满分150分，时间120 分钟）
一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1. 下列各选项的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】选项、、的图案都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项的图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．
2. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案．
【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从上面看得到的图形是俯视图．
3. 把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则即可求解．
【详解】解：抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后， 所得抛物线的解析式为．
故选：A．
4. 如图，点A，B在格点上，若，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得，然后代入数据计算即可．
【详解】解：如图，
由题意，知∥ ， ，
∴ ，
又，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解．
【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃
故选：B．
6. 若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
7. 如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A. 6B. 12C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF周长为
故选：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
8. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A. 最大电流是B. 最大电流是
C. 最小电流是D. 最小电流是
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
9. 如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（ ）
A. 3B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】设点坐标为．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，那么，．根据，列出方程，即可求出．
【详解】解：设点坐标为．
轴，，，
，，
，
，．
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是设点坐标为，用含的代数式表示出点坐标．
10. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）

A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
∴，
解得；
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
解得；
由上可得，的长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．
二、填空题（本大题4题，每题5分，共20分）
11. 平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm，
∴OA′=25cm，
∴，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．
12. 如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长．
【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，，
，，，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
13. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．
【详解】解：设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x=，
故答案为：．
【点睛】u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
14. 如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，当点A、E、O三点共线时，______，线段长的最小值为______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练地利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．利用正切函数的定义即可求解；证明，推出，，延长到点，使得，连接，证明，推出，当最小时，、、三点共线，据此求解即可．
【详解】解：当点A、E、O三点共线时，是边的中点，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当最小时，、、三点共线，
∵，
∴
∴线段长的最小值为．
故答案为：，．
三、解答题（共9小题，15-18，每题8分，19、20，每题10分，21、22，每题12分，23 题14分，共90分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】将各个特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题关键．
16. 已知．
（1）求的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键．
（1）设，代入化简计算即可；
（2）由，得，解得，代入化简计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
设，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
设，
∵，
∴，
解得，
∴．
17. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为．

（1）在第一象限画出以原点O为位似中心的位似图形，使与的位似比为；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转后的．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换—位似和旋转：
（1）根据位似图形性质，画出即可；
（2）根据旋转的性质，画出即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；

18. 某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为42米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，平行于水平线长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）

【答案】桥墩高为米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可．解题的关键是构造直角三角形．
【详解】解：延长交于点，则：，

∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
答：桥墩的高为米．
19. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，据此证明，根据相似三角形的性质即可证明；
（2）求出，再证明，得到，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）．
20. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元
（3）
【解析】
【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果；
（2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元；
（3）令，则，可求或，由，可得，由，可得．
【小问1详解】
解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，
将，，代入得，，
解得，，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
【小问2详解】
解：依题意得，，
∵，，
∴当时，日获利w最大，最大利润为元；
【小问3详解】
解：令，则，
解得，或，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
21. （1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数．
（2）已知，均为锐角，，，则________；
（3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知锐角三角函数是解题的关键．
（1）解直角三角形可得，，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明是等腰直角三角形，则；
（2）根据特殊角三角函数值可得的度数，进而可得答案；
（3）构造解析图中的，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接，
在中，，
在中，，
∴
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）∵，均为锐角，，，
∴，
∴；
（3）如图所示，，
∴，
∴，
∴；
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数；
（3）如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、黄金分割的定义及三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定、圆周角定理的应用以及黄金分割的判定条件是解题的关键．
（1）利用已知条件及，通过判定，从而得到对应角相等，证明角平分线．
（2）根据是中点且，得出；结合（）的结论推出，再根据圆周角定理，分优弧和劣弧两种情况求出弦所对的圆周角．
（3）通过作高将三角形面积用线段表示，代入面积等式，化简后得到，以此证明点为黄金分割点．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，即平分；
【小问2详解】
解：∵是中点且，
∴，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
当弦所对的圆周角在上时，，
当弦所对的圆周角在上时，，
∴弦对的圆周角为或；
【小问3详解】
证明：如图3，过点作于，于，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积分别为
，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的黄金分割点．
23. 规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
【答案】（1）y= ，(2) ① ，② 或 （3）（1，1），(-2，7)
【解析】
【分析】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0），求出这两点关于y=-x对称点，代入y=kx+b，求出k，b的值则可以得出解析式；
（2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点代入C1上，则可以求出C2 的解析式；
②C1与y轴交于（0，4a-1）， C2与y轴交于（0，-16a+1）根据AB=16，列方程求出a的值，
（3）求出y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，根据抛物线不通过点P： ，令 ，得出x，将x的值代入y=-2x+3中，由于函数值得唯一性，得出点P的坐标.
【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ）
设y=x+b，则 ，
解得 ，
则 ，
（2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），
(2-x，-y)在C1上，则
C2:，
②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1），
AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，
｜2a-2｜=16，解得a= 或- ，
（3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，
抛物线:
令 ，得x1=1，x2=-1，则抛物线经过（1， ），（-2， ）
令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，
点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上
由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，
故P为(1，1)或(-2，7)．
【点睛】此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质．
x（元/ ）
7
8
9
y（）