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安徽省安庆市外国语学校2021--2022学年九年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份安徽省安庆市外国语学校2021--2022学年九年级上学期 期中考试数学【试卷+答案】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期
九年级期中考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝2的是（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2（x﹣2）2
3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
5．在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度
y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
6．已知反比例函数y＝﹣，当y≤4时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥3或x＜0 B．x＞0或x≤﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥3
7．如图所示，在▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
9．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．12 cm2
10．如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于 ．
12．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 （填序号）
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
三、解答题（本大题9小题，第15-18，每题8分，第19-20，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题，14分，满分90分）
15．已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
16．函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
（1）求k的值；
（2）函数y＝的图象在第 象限，当x 时，y随x的增大而增大．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当＝1，AC＝3时，求BF的长．
18．小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积为S（单位：cm2）．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式是______________，写出自变量x的取值范围为______________；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
19．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d）．若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1．若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
21．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 ；自变量x的取值范围为 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值等于 ．
（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．
23．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）．
∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴＝＝．
∵CH∥FE，＝，
∴＝＝．
∴＝•＝×＝．
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则＝ （用含a、b的式子表示）．
②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期九年级期中考试
数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的概念得到比例式，与各个选项进行比较得到答案．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴＝，
∴B正确，
A、C、D不正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝2的是（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【解答】解：A、y＝2x2﹣4的对称轴为x＝0，所以选项A错误；
B、y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，所以选项B正确；
C、y＝2x2+2的对称轴为x＝0，所以选项C错误；
D、y＝2（x+2）2对称轴为x＝﹣2，所以选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k）；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x＝﹣求出对称轴．
3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴＝（）2＝2，
∴＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】因为抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，所以相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，再根据函数平移的性质进行解答．
【解答】解：∵抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，
∴由“上加下减，左加右减”的原则可知，把抛物线分别向下、向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5．在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度
y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
【分析】观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且AB段是恒温阶段，y＝18，所以计算AD和BC两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：如图，
把B（12，18）代入y＝中得：
k＝12×18＝216；
设一次函数的解析式为：y＝mx+n，
把（0，10）、（2，18）代入y＝mx+n中，
得：，
解得，
∴AD的解析式为：y＝4x+10，
当y＝12时，12＝4x+10，x＝0.5，
当12＝时，
解得：x＝＝18，
∴18﹣0.5＝17.5（h），
故选：B．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
6．已知反比例函数y＝﹣，当y≤4时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥3或x＜0 B．x＞0或x≤﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥3
【分析】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限，结合函数图象求得当y≤4时自变量x的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣大致图象如图所示，
∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．
故选：B．
【点评】考查了反比例函数的性质，解题时，要注意自变量x的取值范围有两部分组成．
7．如图所示，在▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，
所以，△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG，
AD∥BC，
所以，△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，
所以△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD
故图中相似三角形有6对．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
8．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式．
【解答】解：根据两个动点的运动状态可知
（1）当0≤t≤1时，S＝，此时抛物线开口向上；
（2）当1≤t≤2.5时，S＝＝3，此时，函数值不变，函数图象为平行于x轴的线段；
（3）当2.5≤t≤3.5时，S＝×3×（7﹣2t））＝﹣t+．S随t的增大而减小．
故选：C．
【点评】本题为双动点问题考查了分类讨论的数学思想，解答时注意研究动点到达临界点时的相对位置状态以确定一般图形．
9．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．12 cm2
【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形，
∴S△ABC＝27cm2，
∵矩形平行于BC，
∴EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∵AB被截成三等分，
∴AF＝2AE，AB＝3AE，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9，
∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，
∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH＝×27cm2＝9cm2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
10．如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之积为2，即可解答．
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（2﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之积为2，
∴•＝2，
解得：k＝5或﹣3，
∵k＞0，
∴k＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是求出AC，BD的长．
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于 8 ．
【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．
12．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② （填序号）
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝﹣3x2，
②y＝﹣x2，
③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣|，
∴抛物线②y＝﹣x2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 6或12 ．
【分析】此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CE的长．
【解答】解：如图①，当点D在边AB上时，
∵AB＝6，AC＝9，AD＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE＝6；
如图②，当点D在边AB的延长线上时，
∵AB＝6，AC＝9，AD＝2，
∴BD＝AB+AD＝6+2＝8，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE＝12；
∴CE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意点D在边AB所在的直线上可以分为当点D在边AB上与当点D在边AB的延长线上，小心别漏解．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
【分析】作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到GN的长，然后通过图形可知，△AGF的面积＝△ABF的面积﹣△ABG的面积，代入数据计算即可．
【解答】解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴，
即，
解得x＝，
∴GN＝4x＝，
∴△AGF的面积是：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出GN的长，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题9小题，第15-18，每题8分，第19-20，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题，14分，满分90分）
15．已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
【分析】根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：由a：b：c＝2：3：4可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c求解更简便．
16．函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
（1）求k的值；
（2）函数y＝的图象在第 一、二 象限，当x ＜0 时，y随x的增大而增大；
【分析】（1）将x＝3，y＝2代入函数中得：k＝6，利用描点、连线即可得出图象；
（2）由图象可得答案．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝2代入函数中得：k＝6，
（2）根据图象可知：函数y＝的图象在第一、二象限，当x＜0时，y随x的增大而增大；
故答案为：一、二；x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当＝1，AC＝3时，求BF的长．
【分析】（1）只要证明∠DBF＝∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°
∴∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°
∴∠DBF＝∠DAC
∴△ACD∽△BFD
（2）解：如图，∵＝1，△ACD∽△BFD，AC＝3，
∴＝＝1，
∴BF＝AC＝3．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用新三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
18．小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积为S（单位：cm2）．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式是_S＝﹣x2+20x__，写出自变量x的取值范围为__0＜x＜40___；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
【分析】（1）S＝x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；
（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：S＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x，
∵x＞0，且40﹣x＞0，
∴0＜x＜40，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣x2+20x（0＜x＜40）；
（2）∵﹣＜0，
∴S有最大值，
∴当x＝﹣＝﹣＝20时，
S有最大值为＝＝＝200cm2．
∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．
【点评】考查二次函数求最值问题，掌握二次函数的顶点为（﹣，），是解决本题的关键．
19．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d）．若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1．若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”为y＝（x+2）2+4；
（2）∵y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，y2＝2x2﹣nx+1＝2（x﹣）2﹣，
由题意﹣＝2×，解得n＝±2．
【点评】本题考查二次函数的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标，属于中考常考题型．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；
（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；
【解答】解：（1）∵GF∥BC，
∴＝，
∵BD＝20，＝
∴BG＝8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时，销售数量为300件 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 20 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 y＝﹣20x+1000 ；自变量x的取值范围为 30≤x≤50 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可写出点P的实际意义，再根据“销售单价每提升一元的销售减少量＝销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论；
（2）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式，令y＝0求出x值，即可得出自变量x的取值范围；
（3）设第二个月的利润为w元，根据“利润＝单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；
第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）＝30（元），
销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）＝20（件）．
故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．
（2）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
将点（30，400）、（35，300）代入y＝kx+b中，
得：，，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣20x+1000．
当y＝0时，x＝50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．
故答案为：y＝﹣20x+1000；30≤x≤50．
（3）设第二个月的利润为w元，
由已知得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）熟悉坐标系中点的坐标的意义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值等于 2 ．
（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质及矩形的性质可得△COF∽△AOB，再由相似三角形的性质得点F的坐标，然后由待定系数法求出k的值即可；
（2）由相似三角形的判定方法可得结论．
【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，
∴∠AOB＝∠COF，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴△COF∽△AOB，
∴，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，
∴AB＝OC＝2，BC＝OA＝4，
∴＝，
解得：CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
把点F的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×2＝2，
故答案为：2；
（2）△COF∽△BFG，理由如下：
设点G的坐标为（4，m），
∵反比例函数的解析式为，OA＝4，
∴m＝AG＝＝，
∴BG＝AB﹣AG＝1.5，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCF＝∠FBG＝90°，BC＝OA＝4，
由（1）得：CF＝1，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
∴，，
∴，
∴△OCF∽△FBG；
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握反比例函数的性质和矩形的性质，证明△OCF∽△FBG是解题的关键，属于中考常考题目．
23．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）．
∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴＝＝．
∵CH∥FE，＝，
∴＝＝．
∴＝•＝×＝．
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则＝ （用含a、b的式子表示）．
②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
【分析】（1）小英的方法只要证明求出AE：EG的值即可解决问题．小聪是方法，只要求出BM：BD的值即可．
（2）①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G．想办法求出AE：EG的值即可解决问题．②方法类似①．
（3）如图3中，作DG∥BE交AC于G．首先证明AF：DF＝2：1，再分别求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面积即可．
【解答】（1）解：小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2），
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，EG＝GC，
∴＝，
∴＝．
小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；
∵AM∥EB，
∴＝＝，
∵BD＝DC，
∴＝，
∵BF∥AM，
∴＝＝．
（2）解：①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，EG＝GC，
∴＝，
∴＝．
故答案为．
②如图2﹣2中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，设AE＝a，EC＝b，EG＝mk，CG＝nk，
则b＝mk+nk，k＝
∴EG＝，
∴＝＝
∴＝．
（3）解：如图3中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴＝＝2，
∴2EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，GC＝2EG，
∴＝，
∴＝，
∵S△ABC＝45，BD：DC＝1：2，
∴S△ABD＝×45＝15，
∵AF：DF＝2：1，
∴S△ABF＝S△ABD＝×15＝10，
∴S△BDF＝5，
∵AE：EC＝2：3，
∴S△BEC＝•S△ABC＝×45＝27，
∴S四边形EFDC＝S△ECB﹣S△BDF＝27﹣5＝22．
【点评】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．
安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期
九年级期中考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝2的是（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2（x﹣2）2
3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
5．在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度
y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
6．已知反比例函数y＝﹣，当y≤4时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥3或x＜0 B．x＞0或x≤﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥3
7．如图所示，在▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
9．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．12 cm2
10．如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于 ．
12．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 （填序号）
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
三、解答题（本大题9小题，第15-18，每题8分，第19-20，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题，14分，满分90分）
15．已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
16．函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
（1）求k的值；
（2）函数y＝的图象在第 象限，当x 时，y随x的增大而增大．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当＝1，AC＝3时，求BF的长．
18．小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积为S（单位：cm2）．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式是______________，写出自变量x的取值范围为______________；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
19．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d）．若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1．若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
21．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 ；自变量x的取值范围为 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值等于 ．
（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．
23．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）．
∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴＝＝．
∵CH∥FE，＝，
∴＝＝．
∴＝•＝×＝．
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则＝ （用含a、b的式子表示）．
②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
安庆市外国语学校2021—2022学年度第一学期九年级期中考试
数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每题4分，满分40分）
1．如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割的概念得到比例式，与各个选项进行比较得到答案．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴＝，
∴B正确，
A、C、D不正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝2的是（ ）
A．y＝2x2﹣2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝2x2+2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
【解答】解：A、y＝2x2﹣4的对称轴为x＝0，所以选项A错误；
B、y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，所以选项B正确；
C、y＝2x2+2的对称轴为x＝0，所以选项C错误；
D、y＝2（x+2）2对称轴为x＝﹣2，所以选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k）；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x＝﹣求出对称轴．
3．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出的值．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴＝（）2＝2，
∴＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
4．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2+3不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+5 B．y＝3（x+2）2+1
C．y＝3（x+2）2+5 D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】因为抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，所以相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，再根据函数平移的性质进行解答．
【解答】解：∵抛物线的解析式不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴相当于把抛物线分别向下、向左平移2个单位，
∴由“上加下减，左加右减”的原则可知，把抛物线分别向下、向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
5．在大棚中栽培新品种的蘑菇，在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭．大棚内温度
y（℃）随时间x（时）变化的函数图象，其中BC段是函数y＝（k＞0）图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则这天该种蘑菇适宜生长的时间为（ ）
A．18小时 B．17.5小时 C．12小时 D．10小时
【分析】观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且AB段是恒温阶段，y＝18，所以计算AD和BC两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：如图，
把B（12，18）代入y＝中得：
k＝12×18＝216；
设一次函数的解析式为：y＝mx+n，
把（0，10）、（2，18）代入y＝mx+n中，
得：，
解得，
∴AD的解析式为：y＝4x+10，
当y＝12时，12＝4x+10，x＝0.5，
当12＝时，
解得：x＝＝18，
∴18﹣0.5＝17.5（h），
故选：B．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
6．已知反比例函数y＝﹣，当y≤4时，自变量x的取值范围为（ ）
A．x≥3或x＜0 B．x＞0或x≤﹣3 C．x≤﹣3 D．x≥3
【分析】根据函数解析式中的系数推知函数图象经过第二、四象限，结合函数图象求得当y≤4时自变量x的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣大致图象如图所示，
∴当y≤4时自变量x的取值范围是x≤﹣3或x＞0．
故选：B．
【点评】考查了反比例函数的性质，解题时，要注意自变量x的取值范围有两部分组成．
7．如图所示，在▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，
所以，△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG，
AD∥BC，
所以，△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，
所以△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD
故图中相似三角形有6对．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
8．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．点P和点Q同时从点A出发，点P以3cm/s的速度沿A→D方向运动到点D为止，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向运动到点D为止，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（ ）
【分析】研究两个动点到矩形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式．
【解答】解：根据两个动点的运动状态可知
（1）当0≤t≤1时，S＝，此时抛物线开口向上；
（2）当1≤t≤2.5时，S＝＝3，此时，函数值不变，函数图象为平行于x轴的线段；
（3）当2.5≤t≤3.5时，S＝×3×（7﹣2t））＝﹣t+．S随t的增大而减小．
故选：C．
【点评】本题为双动点问题考查了分类讨论的数学思想，解答时注意研究动点到达临界点时的相对位置状态以确定一般图形．
9．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．12 cm2
【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形，
∴S△ABC＝27cm2，
∵矩形平行于BC，
∴EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∵AB被截成三等分，
∴AF＝2AE，AB＝3AE，
∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9，
∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，
∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH＝×27cm2＝9cm2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
10．如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A、B的横坐标分别为1、2，△OAC与△ABD的面积之积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先求出点A，B的坐标，再根据AC∥BD∥y轴，确定点C，点D的坐标，求出AC，BD，最后根据，△OAC与△ABD的面积之积为2，即可解答．
【解答】解：∵点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴点C的坐标为（1，k），点D的坐标为（2，），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（2﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之积为2，
∴•＝2，
解得：k＝5或﹣3，
∵k＞0，
∴k＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是求出AC，BD的长．
二、填空题（本大题4小题，每题5分，满分20分）
11．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于 8 ．
【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．
【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．
12．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② （填序号）
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝﹣3x2，
②y＝﹣x2，
③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣|，
∴抛物线②y＝﹣x2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 6或12 ．
【分析】此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析，由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CE的长．
【解答】解：如图①，当点D在边AB上时，
∵AB＝6，AC＝9，AD＝2，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE＝6；
如图②，当点D在边AB的延长线上时，
∵AB＝6，AC＝9，AD＝2，
∴BD＝AB+AD＝6+2＝8，
∵DE∥BC，
∴，
即：，
∴CE＝12；
∴CE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意点D在边AB所在的直线上可以分为当点D在边AB上与当点D在边AB的延长线上，小心别漏解．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
【分析】作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，根据正方形的性质和相似三角形的性质，可以得到GN的长，然后通过图形可知，△AGF的面积＝△ABF的面积﹣△ABG的面积，代入数据计算即可．
【解答】解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴，
即，
解得x＝，
∴GN＝4x＝，
∴△AGF的面积是：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是求出GN的长，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题9小题，第15-18，每题8分，第19-20，每题10分，第21-22题，每题12分，第23题，14分，满分90分）
15．已知a：b：c＝2：3：4，求的值．
【分析】根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：由a：b：c＝2：3：4可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c求解更简便．
16．函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表：
（1）求k的值；
（2）函数y＝的图象在第 一、二 象限，当x ＜0 时，y随x的增大而增大；
【分析】（1）将x＝3，y＝2代入函数中得：k＝6，利用描点、连线即可得出图象；
（2）由图象可得答案．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝2代入函数中得：k＝6，
（2）根据图象可知：函数y＝的图象在第一、二象限，当x＜0时，y随x的增大而增大；
故答案为：一、二；x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当＝1，AC＝3时，求BF的长．
【分析】（1）只要证明∠DBF＝∠DAC，即可判断．
（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°
∴∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°
∴∠DBF＝∠DAC
∴△ACD∽△BFD
（2）解：如图，∵＝1，△ACD∽△BFD，AC＝3，
∴＝＝1，
∴BF＝AC＝3．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，同角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用新三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
18．小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积为S（单位：cm2）．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式是_S＝﹣x2+20x__，写出自变量x的取值范围为__0＜x＜40___；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
【分析】（1）S＝x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；
（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：S＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x，
∵x＞0，且40﹣x＞0，
∴0＜x＜40，
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣x2+20x（0＜x＜40）；
（2）∵﹣＜0，
∴S有最大值，
∴当x＝﹣＝﹣＝20时，
S有最大值为＝＝＝200cm2．
∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．
【点评】考查二次函数求最值问题，掌握二次函数的顶点为（﹣，），是解决本题的关键．
19．设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c，d）．若a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝2x2﹣nx+1．若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点坐标为（1，﹣2），
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣1的一个“反倍顶二次函数”为y＝（x+2）2+4；
（2）∵y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，y2＝2x2﹣nx+1＝2（x﹣）2﹣，
由题意﹣＝2×，解得n＝±2．
【点评】本题考查二次函数的应用．解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标，属于中考常考题型．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；
（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；
【解答】解：（1）∵GF∥BC，
∴＝，
∵BD＝20，＝
∴BG＝8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元/件时，销售数量为300件 ；销售单价每提高1元时，销售量相应减少 20 件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式 y＝﹣20x+1000 ；自变量x的取值范围为 30≤x≤50 ；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可写出点P的实际意义，再根据“销售单价每提升一元的销售减少量＝销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论；
（2）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式，令y＝0求出x值，即可得出自变量x的取值范围；
（3）设第二个月的利润为w元，根据“利润＝单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；
第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）＝30（元），
销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）＝20（件）．
故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．
（2）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
将点（30，400）、（35，300）代入y＝kx+b中，
得：，，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣20x+1000．
当y＝0时，x＝50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．
故答案为：y＝﹣20x+1000；30≤x≤50．
（3）设第二个月的利润为w元，
由已知得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）熟悉坐标系中点的坐标的意义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值等于 2 ．
（2）连接FG，判断△COF与△BFG是否相似，并说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质及矩形的性质可得△COF∽△AOB，再由相似三角形的性质得点F的坐标，然后由待定系数法求出k的值即可；
（2）由相似三角形的判定方法可得结论．
【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，
∴∠AOB＝∠COF，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴△COF∽△AOB，
∴，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，
∴AB＝OC＝2，BC＝OA＝4，
∴＝，
解得：CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
把点F的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×2＝2，
故答案为：2；
（2）△COF∽△BFG，理由如下：
设点G的坐标为（4，m），
∵反比例函数的解析式为，OA＝4，
∴m＝AG＝＝，
∴BG＝AB﹣AG＝1.5，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCF＝∠FBG＝90°，BC＝OA＝4，
由（1）得：CF＝1，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
∴，，
∴，
∴△OCF∽△FBG；
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握反比例函数的性质和矩形的性质，证明△OCF∽△FBG是解题的关键，属于中考常考题目．
23．（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图1﹣1）．
∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴＝＝．
∵CH∥FE，＝，
∴＝＝．
∴＝•＝×＝．
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2）；小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）①如图2﹣1，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，，连接AD与BE相交于点F，则＝ （用含a、b的式子表示）．
②如图2﹣2，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，求的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如图3，△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，＝，＝，连接AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
【分析】（1）小英的方法只要证明求出AE：EG的值即可解决问题．小聪是方法，只要求出BM：BD的值即可．
（2）①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G．想办法求出AE：EG的值即可解决问题．②方法类似①．
（3）如图3中，作DG∥BE交AC于G．首先证明AF：DF＝2：1，再分别求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面积即可．
【解答】（1）解：小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图1﹣2），
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，EG＝GC，
∴＝，
∴＝．
小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图1﹣3）；
∵AM∥EB，
∴＝＝，
∵BD＝DC，
∴＝，
∵BF∥AM，
∴＝＝．
（2）解：①如图2﹣1中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，EG＝GC，
∴＝，
∴＝．
故答案为．
②如图2﹣2中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，设AE＝a，EC＝b，EG＝mk，CG＝nk，
则b＝mk+nk，k＝
∴EG＝，
∴＝＝
∴＝．
（3）解：如图3中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴＝＝2，
∴2EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵＝，GC＝2EG，
∴＝，
∴＝，
∵S△ABC＝45，BD：DC＝1：2，
∴S△ABD＝×45＝15，
∵AF：DF＝2：1，
∴S△ABF＝S△ABD＝×15＝10，
∴S△BDF＝5，
∵AE：EC＝2：3，
∴S△BEC＝•S△ABC＝×45＝27，
∴S四边形EFDC＝S△ECB﹣S△BDF＝27﹣5＝22．
【点评】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．
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