人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 3.4 二次函数 第2课时 二次函数性质的综合应用

这是一份人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 3.4 二次函数 第2课时 二次函数性质的综合应用，共297页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2024·内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m>n>0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n=1B．m−n=1C．mn=1D．mn=1
二、解答题
2．（2025·西藏）已知抛物线y=ax2+bx−4过点A−1,0，Bm,0，与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E．
(1)当m=3时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若∠CDE=∠CED，求直线AF的解析式；
(3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，∠DCE=∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？
3．（2025·江苏无锡）已知二次函数y=−12x2+mx+33mm≠0图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
(1)若该函数图象经过点0,3，求点A的横坐标；
(2)若my2；
(3)若△ABC是等腰三角形，求m的值．
4．（2025·青海西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y=ax2−4axa0经过A4,0、B−2,6两点．点Px0,y0是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．
(1)若c=−4．
①求抛物线的解析式；
②求线段PQ长度的最大值；
③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）．
(2)若c≠−4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
7．（2025·黑龙江大庆）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点A23,3，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为0,1，连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线l交y轴于点T．
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断直线l与二次函数y=ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由；
(3)点Pm,0为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围．
8．（2025·甘肃甘南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−5a≠0交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA=OB=OC．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标；
(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
9．（2025·宁夏）如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD=S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
10．（2025·四川广元）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4（a>0）与x轴交于点A和点B−4,0，与y轴交于点C．
(1)求b与a的关系；
(2)如图①，当a=12时，点P在抛物线上，S△PBC=4，求点P的坐标；
(3)如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值．
11．（2025·四川资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,−1，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
12．（2025·青海）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A，B两点，点B的坐标为1,0，点C2,5在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当y1)，使得AB，CD，m⋅EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m⋅EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）．
59．（2024·山东泰安）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点D1,−1，与x轴交于点A，点B．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
60．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
61．（2024·广东广州）已知抛物线G:y=ax2−6ax−a3+2a2+1(a>0)过点Ax1,2和点Bx2,2，直线l:y=m2x+n过点C(3,1)，交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1=C2+2．
(1)求抛物线G的对称轴；
(2)求m的值；
(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
62．（2024·黑龙江牡丹江）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，点C的坐标为0,−3，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．
63．（2024·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x2+bx+c与x轴相交于A1,0，B两点（点A在点B左侧），顶点为M2,d，连接AM．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC,CM．当点C的坐标为0,12时，求证：∠ACM=∠BAM；
(3)如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当BDDE=87时，3S△ABD与2S△M′BD是否相等？请说明理由．
64．（2024·四川广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=−x2+bx+c经过点A−3,−1，与y轴交于点B0,2．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线y=−1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
65．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B1,0，C0,3．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
66．（2024·广东深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax−h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m，CD=n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数y=ax−h2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2．
①此时点B′的坐标为________；
②将点B′坐标代入y=ax2中，解得a=________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为h,k
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入y=ax−h2+k中解得a=________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=ax+h2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，求a的值．
67．（2024·黑龙江绥化）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A3,4，B0,1．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=16tan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
68．（2024·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的另一个交点为点B(−1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当EF=AC时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为______．
69．（2024·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c a，b，c为常数，a>0的顶点为P，且2a+b=0，对称轴与x轴相交于点D，点Mm,1在抛物线上，m>1，O为坐标原点．
(1)当a=1，c=−1时，求该抛物线顶点P的坐标；
(2)当OM=OP=132时，求a的值；
(3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE+NF=2DM，当DE+MF取得最小值为15时，求a的值．
70．（2024·湖北）如图1，二次函数y=−x2+bx+3交x轴于A−1,0和B，交y轴于C．
(1)求b的值．
(2)M为函数图象上一点，满足∠MAB=∠ACO，求M点的横坐标．
(3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L,L与y轴交于点D，记DC=d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U,U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
71．（2024·福建）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中A−2,0,C0,−2．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
72．（2024·四川眉山）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点C0,3，点D在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
73．（2024·甘肃）如图1，抛物线y=ax−h2+k交x轴于O，A4,0两点，顶点为B2,23．点C为OB的中点．
(1)求抛物线y=a(x−h)2+k的表达式；
(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
74．（2024·山东烟台）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
(1)分别求抛物线y1和y2的表达式；
(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求FM+MN+DN的最小值；
(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
75．（2024·四川凉山）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+2相交于A−2，0,B3,m两点，与x轴相交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A,B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求P点坐标；
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
76．（2024·上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过A0,−53和B(5,0)．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线x=m（m>0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
77．（2024·四川广安）如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点B坐标为(3,0)．

(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
(3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
78．（2024·江苏连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1（a、b为常数，a>0）．

(1)若抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图，当b=1时，过点C(−1,a)、D(1,a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
(3)当a=1，b≤−2时，过直线y=x−1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
79．（2024·山东）在平面直角坐标系xOy中，点P2,−3在二次函数y=ax2+bx−3a>0的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x=m．
(1)求m的值；
(2)若点Qm,−4在y=ax2+bx−3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y=ax2+bx−3的图像与x轴交点为x1,0，x2,0x10），下列结论正确的是（ ）
A．m+n=1B．m−n=1C．mn=1D．mn=1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，先证明△ANB≌△DMA(AAS)．可得AM=NB，DM=AN．点A、C的横坐标分别为m、n，可得A(m,−m2+4)，C(n,−n2+4)．E(m+n2，−m2−n2+82)，M(0,−m2+4)，设D(0,b)，则B(m+n,−m2−n2+8−b)，N(m+n,−m2+4)，BN=−n2+4−b，AM=m，AN=n，DM=m2−4+b．再由AM=NB，DM=AN进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC、BD互相平分，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAN+∠DAM=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠BAN=∠ADM．
∵∠BNA=∠AMD=90°，BA=AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM=NB，DM=AN．
∵点A、C的横坐标分别为m、n，
∴A(m,−m2+4)，C(n,−n2+4)．
∴E(m+n2，−m2−n2+82)，M(0,−m2+4)，
设D(0,b)，则B(m+n,−m2−n2+8−b)，N(m+n,−m2+4)，
∴BN=−n2+4−b，AM=m，AN=n，DM=m2−4+b．
又AM=NB，DM=AN，
∴−n2+4−b=m，n=m2−4+b．
∴b=−n2−m+4．
∴n=m2−4−n2−m+4．
∴ (m+n)(m−n)=m+n．
∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m+n≠0．
∴m−n=1．
故选：B．
二、解答题
2．（2025·西藏）已知抛物线y=ax2+bx−4过点A−1,0，Bm,0，与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E．
(1)当m=3时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若∠CDE=∠CED，求直线AF的解析式；
(3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，∠DCE=∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？
【答案】(1)y=43x2−83x−4
(2)y=−13x−13
(3)m>4
(4)m=4+42
【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定；
（1）当m=3时，二次函数y=ax2+bx−4的图象与x轴交于A(−1,0),B(3,0)，设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x−3)，展开后得到−3a=−4求解即可得到答案；
（2）根据解析式求得点C0,−4，进而勾股定理求得BC=5，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，进而得出∠OCG=∠OAD，根据角平分线的定义得出OCBC=OGBG=45，求得OG=43，进而可得tan∠OAD=ODOA=13，从而求得点D的坐标，待定系数法求解析式，即可求解．
（3）先找到临界值，当m=4时，OB=OC=4，此时得出F,B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当∠OCB>45°时，m>4即可求解；
（4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，取H4,0得出△OCH是等腰直角三角形，进而求得HC=HB =42，即可得出B的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当m=3时，二次函数y=ax2+bx−4的图象与x轴交于A(−1,0),B(3,0)，
∴设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x−3)，
∵y=a(x+1)(x−3)=ax2−2x−3=ax2−2ax−3a，y=ax2+bx−4，
∴−3a=−4，
解得a=43，
∴函数的解析式为y=43x2−83x−4；
（2）解：对于二次函数y=43x2−83x−4，
令x=0，可得y=−4，则点C的坐标为(0,−4)，则OC=4
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3,OC=4
∴BC=OB2+OC2=5，
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG
∴∠OAD=90°−∠AGC=∠OCG=12∠OCB，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵S△OCGS△BCG=12OC×OG12BC×d=12OC×OG12BG×OC，
∴OCBC=OGBG=45，
∴OG=49OB=49×3=43．
∴tan∠OCG=OGOC=434=13．
∵∠OCG=∠OAD，
∴tan∠OAD=ODOA=13．
∵A−1,0，则OA=1，
∴OD=13．
∴D0,−13．
设直线AF的解析式为y=kx+bk≠0，代入A−1,0，D0,−13
∴−k+b=0b=−13，
解得：k=−13b=−13，
∴直线AF的解析式y=−13x−13．
（3）解：当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°．
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D,O重合，F,B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF4．
∴要使得∠DCE=∠DEC成立， m的取值范围为m>4；
（4）解：∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形．
∴∠CDE=∠ADO=45°．
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°．
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°．
如图所示，取H4,0．
∴OC=OH．
∴△OCH是等腰直角三角形．
∴∠OCH=45°．
∴∠HCB=∠OBC=22.5°．
∴HC=HB =42．
∴OB=OH+HB=4+42．
即m=4+42．
3．（2025·江苏无锡）已知二次函数y=−12x2+mx+33mm≠0图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C．
(1)若该函数图象经过点0,3，求点A的横坐标；
(2)若my2；
(3)若△ABC是等腰三角形，求m的值．
【答案】(1)点A的横坐标为3
(2)证明见解析
(3)m=233或m=−233或m=−23
【分析】（1）把0,3代入y=−12x2+mx+33mm≠0可得m=3，再进一步求解即可.
（2）先求解y1=−2+2m+33m，y2=−8+4m+33m，结合my2.
（3）解：在函数y=−12x2+mx+33mm≠0中，
当x=0时，y=33m，
∴B0,33m，
∵y=−12x2+mx+33m=−12x−m2+m22+33m，二次函数图象的顶点为A，对称轴与x轴交于点C
∴Am,m22+33m，Cm,0，
∴AB2=m2+m222，BC2=m2+33m2，AC2=m22+33m2，
当AB=AC时，则m2+m222=m22+33m2，
解得：m=0（舍去），m=233，
当AB=BC时，则m2+m222=m2+33m2，
解得：m=0（舍去），m=±233，
当AC=BC时，则m2+33m2=m22+33m2，
解得：m=0（舍去），m=233，m=−23，
综上：m=233或m=−233或m=−23.
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
4．（2025·青海西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y=ax2−4axa6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF=6，
∴n≤92；
又∵过点T0,t作y轴的垂线与y=12x2的图像交于点E,F，
而y=12x2的最小值为y=0，
∴n>0；
∴00经过A4,0、B−2,6两点．点Px0,y0是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．
(1)若c=−4．
①求抛物线的解析式；
②求线段PQ长度的最大值；
③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）．
(2)若c≠−4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【答案】(1)①y=x2−3x−4；②最大值为9；③见解析
(2)不发生变化，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．
（1）①利用待定系数法代入计算求解即可；
②设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出PQ=−(x0−1)2+9，然后利用二次函数的性质求解即可；
③根据二次函数的性质结合图象求解即可；
（2）根据题意重新确定二次函数的解析式为y=ax2−(1+2a)x+4−8a，得出PQ=−a(x0−1)2+9a，然后即可求解．
【详解】（1）解：①∵c=−4，
∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx−4，
∵抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A4,0、B−2,6两点，
∴0=16a+4b−46=4a−2b−4，解得：a=1b=−3，
∴抛物线的解析式为：y=x2−3x−4；
②设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B代入得：
0=4k+b6=−2k+b，解得：k=−1b=4，
∴y=−x+4，
∵点Px0,y0是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q．
∴Px0,−x0+4，Qx0,x02−3x0−4，
∴PQ=−x0+4−(x02−3x0−4)=−(x0−1)2+9，
由题意得：−2≤x0≤4，
∴当x0=1时，PQ取得最大值为9；
③∵PQ=−(x0−1)2+9，−2≤x0≤4，
∴当t≥−2，t+1≤1时，即−2≤t≤0时，PQ的最大长度在x0=t+1处取得；
当t1时，即0