人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 2.3 一元二次方程及其应用

这是一份人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 2.3 一元二次方程及其应用，共56页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2025·山东潍坊）若一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A．−1B．0C．12D．1
2．（2025·四川广元）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的25，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m，则可列方程为（ ）
A．(12−x)(10−x)=12×10×25B．(12−2x)(10−x)=12×10×25
C．(12−x)(10−2x)=12×10×25D．(12−2x)(10−2x)=12×10×25
3．（2025·四川乐山）若方程x2−x−2=0的两个根是x1和x2，则x12x2+x1x22的值为（ ）
A．−1B．1C．−2D．2
4．（2025·广东广州）关于x的方程x2−x+k2+2=0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
5．（2025·甘肃兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
6．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（ ）
A．x60−x=864B．xx−60=864
C．x60+x=864D．2x+x+60=864
7．（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A．25001+x2=9100B．25001−x2=9100
C．25001−2x2=9100D．25001+2x2=9100
8．（2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．−4B．−1C．1D．4
9．（2025·黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80001+2x=1200B．80001+x2=12000
C．8000+80001+x+80001+x2=12000D．8000×21+x=12000
10．（2025·广西）已知x1,x2是方程x2−20x−25=0的两个实数根，则x1+x2=（ ）
A．−25B．−20C．20D．25
11．（2025·甘肃）关于x的一元二次方程3x2−6x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m3D．m≥3
12．（2025·河北）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．（2025·湖北）一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为x1,x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=−4B．x1+x2=3
C．x1x2=4D．x1x2=3
14．（2025·河南）一元二次方程x2−2x=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
15．（2025·新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为xm，根据题意可列方程（ ）
A．x24−2x=40B．x24−x=40
C．2x24−2x=40D．2x24−x=40
16．（2025·新疆）若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a1C．a≤1D．a≥1
17．（2025·四川德阳）若关于x的一元二次方程−2x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2B．0C．−2D．−4
18．（2025·福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A．5x2=6B．51+x2=6C．x(5−x)=6D．5(1+x)2=6
19．（2025·江苏扬州）关于一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断根的情况
20．（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1=0B．x2−2x+1=0
C．x2+x+1=0D．x2+x−1=0
21．（2025·四川广安）关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
22．（2025·云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．60001+x2=6200B．60001−x2=6200
C．60001+2x=6200D．6000x2=6200
23．（2025·四川遂宁）已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m54D．m≤54
24．（2025·四川内江）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．a0，
解得：m>−14，
故选：B．
35．（2024·山东东营）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的形式，则ab的值为（ ）
A．−2024B．2024C．−1D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把x2−2x−2023=0移项，配方，化为x−12=2024，即可．
【详解】解：∵x2−2x−2023=0，
移项得，x2−2x=2023，
配方得，x2−2x+1=2023+1，
即x−12=2024，
∴a=−1，b=2024，
∴ab=−12024=1．
故选：D．
36．（2024·江苏宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若关于x的方程【x,x+1】★mx=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m14C．m>14且m≠0D．m0，且m≠0，即可得到答案.
【详解】解：∵【x,x+1】★mx=0，【a，b】★c=ac+b
∴x⋅mx+x+1=0，即mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x,x+1】★mx=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=12−4×m×1>0，且m≠0，
解得m0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
38．（2024·甘肃兰州）关于x的一元二次方程9x2−6x+c=0有两个相等的实数根，则c=（ ）
A．−9B．4C．−1D．1
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ0，即可求解本题．
【详解】解：∵方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4×1×−m>0，
解得：m>−4；
故答案为：m>−4．
61．（2025·四川广安）已知方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，则代数式a2−4a+b的值为 ．
【答案】29
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，可得：a+b=5，a2−5a=24，把a2−4a+b整理可得：a2−4a+b=a2−5a+a+b，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程x2−5x−24=0的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2−5a−24=0，
∴a2−5a=24，
∴a2−4a+b
=a2−5a+a+b
=a2−5a+a+b
=24+5
=29．
故答案为：29．
62．（2025·上海）已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m1；
（2）解：∵k1，
∴10，恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1,x2是方程x2−m+2x+m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=m+2，x1⋅x2=m−1，
∴x12+x22−x1x2=x1+x22−3x1x2=m+22−3m−1=9，
解得：m1=1或m2=−2．
92．（2025·四川泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为20%
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品100−m件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，1251−x2=80，
解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品100−m件，
由题意得，125−25×2m+80100−m≤7800，
∴75m+8000−80m≤7800，
解得m≥40，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
93．（2025·四川达州）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)60+10x
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是60+10x件；
故答案为：60+10x；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：40−30−x60+10x=630，
整理可得：x2−4x+3=0，
解得：x1=1,x2=3，
由于要让利于游客，x=1舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则W=40−30−x60+10x
=10−x60+10x
=−10x2+40x+600
=−10x−22+640，
∵−1025（不符合题意，舍去）
当x=15时，40−2x=10