山东省实验中学东校区2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题解析版

这是一份山东省实验中学东校区2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题解析版，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 直线 的倾斜角为
A. B. 0C. D.
【答案】B
【解析】直线为平行于轴的直线，所以倾斜角为.
2. 已知复数 的共轭复数为 ,若 ,则 可以为
A. B. C. D.
【答案】A
3.函数 的一个对称中心是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，
即函数的对称中心为，
结合各选项，可知仅满足题意，故B正确 .
4.在边长为 1 的正方体 中, 是线段 上一点,则点 到直线 距离的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，由正方体的性质易知，所以，
过点作于，则即为点到直线的距离，则是的中点，
所以是与的交点，当时，取得最小值，
又，在中，，
所以此时，故点到直线的距离的最小值为．
5.已知全集 ，集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，当，，所以，
当，，所以，所以，故A错误；
，故B正确；由，所以，故C错误；
因为，所以，故D错误.
6.已知 ,若 互斥,则
A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9
【答案】D
【解析】因为，互斥，所以，，故.
7.生物学认为，在生态系统中，输入一个营养级的能量中，大约有 10% 的能量能够流到下一个营养级. 在 这个营养级代指的生物链中,若能使 获得 的能量,则需 提供的能量为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为，即，解得：，所以要能使获得的能量，则需提供的能量为.
8.在 中,点 满足 ,且 ,则 与 的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设的三边分别为，
，，
因为，所以点是外接圆的圆心，
所以，，
所以，即，，即，
所以，即，.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ,则
A. 有两个极值点
B. 可能没有零点
C. 在 有最大值
D. 在 单调递增
【答案】BC
【解析】选项A，三次函数，当时，，当时，，所以函数至少有一个零点，选项A错误；
选项B，，，判别式，故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确；
选项C，，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负，故在内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确；
选项D，在单调递增需恒成立，但开口向上，且必有一个正的变号零点，导致原函数在存在递减区间，选项D错误.
10.设矩形 的周长为定值 ,如图,将 沿 折叠, 使 交 于点 ,则
A. 矩形 的面积有最大值B. 的周长为定值
C. 的面积有最大值D. 线段 有最大值
【答案】BC
【解析】对于选项A：设，则，
因为，所以．
矩形的面积，
因为，所以无最大值．故A错．
对于选项B：根据图形折叠可知与全等，
所以周长为．故B正确．
对于选项C：设，则，有，
即，得，
，
当时，取最大值．故C正确．
对于选项D：因为，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误.
11.已知单位圆 的内接正 边形 的边长、周长和面积分别为 ,则
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，单位圆的内接正边形的中心角为，
如图设，过作于点，则，
，故A错误；
对于B，由A的结论，，则，
则，故B正确；
对于C，，
则，故，故C正确；
对于D，由上分析，，则，
故
，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.抛物线 上的一点 到 轴的距离为 12，则 与焦点 间的距离 ________.
【答案】
【解析】设点，则，所以，所以，所以 .
13.已知数列 满足 ,且 ,则该数列前 20 项和 _______.
【答案】1078
【解析】∴当为奇数时，，当为偶数时，，
∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，
∴，
∴
.
14.曲线 上两点 关于直线 对称的点 在曲线 上,则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】与关于对称，
又上两点关于直线对称的点在曲线上，
故与有2个交点，即有2个不同的实根，即有2个不同的实根，
设，则，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，且趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于0，
作出的图象，如下：
且的图象为过定点的直线，
当与相切时，设切点为，此时，
又根据两点间斜率公式得，所以，故，
由于在上单调递增，且，故有唯一解，
故切线斜率为，数形结合得到时，有2个不同的实根，
故的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)设 的平分线交线段 于点 ，若 ，证明: 为直角三角形 .
【解析】(1)因为 ，所以 .
由余弦定理,得 ,
又因为 ,所以 .
(2)因为 是 的平分线，所以 ，
设 的边 上的高为 ，则由 ，
得 ,即 ,
由余弦定理,得 ,
所以 ,从而 ,故 为直角三角形 .
16.已知函数 .
(1)若函数 存在一条对称轴，求 的值；
(2)求函数 的单调区间.
【解析】(1)因为函数 ，
所以函数定义域为 ,且函数 存在一条对称轴,故对称轴为 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,故 , 当且仅当 时上式恒成立,故 .
(2)由题意 ,
当 时,有 且 ,
所以 ,故 的单调减区间为 ;
当 时,令 ,
且当 时, ,当 时, ,
所以 的单调增区间为 ,单调或区间为 ;
综上,当 时, 的单调减区间为 ,无增区间:
当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
17.在三棱柱 中，底面 是正三角形， .
(1) 证明: ;
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【解析】
( 1 )过点 作 平面 于点 平面 ，所以 ，
又 平面 ,
平面 平面 ,
同理可证 ,又 是正三角形,则 是 的中心,
连接 并延长交 于 ，则 分别为 的中点，
又 平面 平面 ,故 ,
同理可证 ,
综上, .
(2)法一:由(1)知，三棱锥 是正三棱锥，
且 在底面 内的投影为等边 的中心 ,
又 ,故三棱锥 的三个侧面 均为直角三角形,
且 ,则 ,又 ,
可知 ,则 ,
解得 ,在平面 中过 作 ,
交 延长线于点 ，则 平面 ，
则 即为直线 与平面 所成角,其中
,
故
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
法二: 以 的中点 为坐标原点,以 为 的正方向, 过 且与 平行的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
则 ,取 ,则 ,
又 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,故 ,
即直线 与平面 所成角的余弦值 .
18.某校开设素质教育课程，共设置了两类课程:美育和文育，共有 400 名学生参加. 学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失. 已知男生中选择美育课的比例为 80% .
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生选择不同素质教育课程与性别有关联?
(2) 学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进,授课时长 (分钟) 和学生任务完成率 的对应数据如下:
在任务完成率不全相等的条件下,学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况,需计算偏差系数 ,现给出以下两种数据处理方式:
甲:
已知偏差系数越大的处理方式, 对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显.
(i)用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数 ，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显;
(ii) 判断此后学校每次调研均采用 (i) 中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理, 并证明你的判断.
【解析】( 1 )设男生有 人，故 ，解得 ，
故男生中选择文育课的人数为 40 人，又因为其有 400 人参加课程、
所以女生有 200 人，女生中选择美育课的人数为 80 人.
完善列联表, 单位: 人
零假设为 : 选择不同素质教育课程与性别无关联.
因为 ,
故依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生选择不同素质教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001 .
(2) (i) ,
根据甲的计算公式计算: ,故 ;
根据乙的计算公式计算: ,
易知 ,因此乙的偏差系数大,从而乙对大偏差数据的存在体现更明显.
(ii) 采用 (i) 中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式,
即乙的处理方式是合理的.
证明: 不妨设 ,只需证明 恒成立.
不妨设 为任意实数,
则 ,欲证 ,则证 即可,
即证 即可,故证 即可,
设函数 ,
结合完全平方公式得 ,则二次函数 的 ,
可得 ,即 ,
从而对于原式,不妨令 ,得到 ,
得到 ,即 恒成立,
故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的.
19.已知曲线 .
(1)求曲线 围成的平面图形的面积；
(2)若 是曲线 上的两个动点，求 的最大值；
(3) 是否存在直线 与曲线 至少有三个不同的公共点? 若存在,求 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
【解析】( 1 )曲线 既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称.
当 时,曲线方程为 .
记圆心为 ,与 轴分别交于 两点,
则 ,过点 作 ,
则 ,
所以 ,
所以 .
所以 ,
所以 ,同理 .
由对称性可知,曲线 围成的平面图形的面积
(2)记曲线 在第一象限的圆心为 ，第二象限的圆心为 ， 第三象限的圆心为 、第四象限的圆心为 .
情况 1: 不妨 都在第一象限 (或坐标轴正半轴), .
情况 2: 不妨 在第一象限(或坐标轴正半轴), 在第二象限(或 轴负半轴)时, (当且仅当 四点共线时等号成立),此时 最大值为 6 .
情况 3: 不妨 在第一象限 (或坐标轴正半轴), 在第三象限 (或坐标轴负半轴) 时,
(当且仅当 四点共线时
等号成立),此时 最大值为 .
综上,根据对称性可知 最大值为 .
(3)当 时，研究直线与曲线 在第一象限的公共点.
联立 ,得 .
因为 ,
所以方程 (*) 只有一个正根,则直线 与曲线 在第一象限只有一个公共点.
同理,直线 与曲线在第三象限也只有一个公共点.
因此,当 时,直线 与曲线 只有两个公共点.
当 时,
一方面,直线 与曲线 在第二象限的部分至多两个公共点.
另一方面,由 ,得 .
因为 ,
所以方程 (*) 无正根,即直线 与曲线 在第一象限无公共点.
同理,直线 与曲线 在第三象限无公共点.
所以当 时,直线 与曲线 至多两个公共点.
所以 时,直线 与曲线 至多两个公共点.
由对称性可知, 时,直线 与曲线 也至多两个公共点.
综上,不存在直线 与曲线 至少有三个不同的公共点 .课程
性别
合计
男
女
美育
160
文育
120
合计
400
时长
20
24
28
32
36
40
完成率
50
70
60
66
72
84
课程
性别
合计
男
女
美育
160
80
140
文育
40
120
160
合计
200
200
400