山东省实验中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省实验中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了03， 如图，四边形中，，则必有， 在锐角中，若，则的取值范围是， 已知向量，则下列说法正确的是， 已知向量等内容，欢迎下载使用。
2025.03
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，与同向的单位向量为，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. 4B. －4C. 2D. －2
4. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6 已知向量满足，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A 2B. C. 4D.
8. 在锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 若，则D. 存在，使得
10. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O为的重心，则，
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则，
D. 若点O为的内心，则．
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________.
13. 在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为_________．
14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当时，求的值．
16. 已知向量.
（1）求；
（2）设夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
17. 已知，，分别是的内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．

（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若，求取值范围．
山东省实验中学2024~2025学年第二学期阶段性考试
高一数学试题
2025.03
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选：B
2. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
3. 已知，与同向的单位向量为，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. 4B. －4C. 2D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量在向量方向上的投影向量的定义表达式计算即得.
【详解】向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
4. 已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线可得，列出方程组即可得解.
【详解】因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得.
故选：B
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
6. 已知向量满足，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据得，进而得，即可得.
【详解】因为，所以，
故.
故选：B
7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】建系，用三角函数表示点，再将已知向量关系用三角函数表示，得出，最后用辅助角公式得到所求的最值关系，结合正弦函数得到最大值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设扇形的半径为，则，
设点，
因为，
所以，，所以，，
所以，，
因为，则，
当且时，取得最大值4.
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题关键是用三角函数表示出向量关系，得到关系式，再用辅助角公式得到所求的最值关系.
8. 在锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由锐角三角形结合余弦定理可得，表示出，再结合对勾函数的性质可得答案.
【详解】因为锐角三角形中，，所以a一定不为唯一的最大边，
所以只需，
所以，即，
所以，
又，
由对勾函数的性质可得函数，
所以.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 若，则D. 存在，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由向量模长坐标计算公式可得答案；
对于B，由向量夹角计算公式可得答案；
对于C，由向量垂直坐标表示可得答案；
对于D，由向量垂直定义可得答案.
【详解】对于A，由题可知，故A项正确；
对于B，，故与的夹角为，故B项错误；
对于C，若，则，故C项正确；
对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确.
故选：ACD
10. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
11. 已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O为的重心，则，
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则，
D. 若点O为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】
【分析】用向量表示三角形的四心.
【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；

选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线，
则，同理，
，故B正确；

选项C：当时，则为垂心，，重合，此时，故C错误；

选项D：若点O为的内心，在的平分线上，
则，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可.
【详解】在中，由，，得，则，
则的外接圆半径，所以的外接圆面积为.
故答案为：
13. 在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】取中点，连接，根据和求出的表达式即可求解.
【详解】
如图，取中点，连接，
，
，
两式相减得
，
要使有最大值，则最小，
当时，，
所以的最大值为.
故答案为：3.
14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理和三点共线知识可得，然后根据数量积运算律求解可得.
【详解】因为 三点共线，且，点是边的中点，
所以存在实数x满足，
又因为三点共线，所以，
所以，而，
且，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，．
（1）当m取何值时，z为纯虚数？
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得.
（2）根据复数乘法以及复数的模的知识求得正确答案.
【小问1详解】
若为纯虚数，则，解得.
【小问2详解】
当时，，
所以，
所以.
16. 已知向量.
（1）求；
（2）设的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算即得.
（2）利用向量夹角的坐标表示计算即得.
（3）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式计算即得.
【小问1详解】
由，得，
所以.
【小问2详解】
设的夹角为，则.
【小问3详解】
由，得，
由向量与互相垂直得，，
所以，
化简得，解得.
17. 已知，，分别是的内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）由三角形的面积得到a，b的关系，再结合（1）的结论，利用余弦定理求解.
【小问1详解】
解：中，，
由正弦定理得：，则，
即，即，
由正弦定理得，即；
【小问2详解】
由，得，
则，得，
由余弦定理得，
即，整理得，
即，解得，
则，
所以的周长为.
18. 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．

（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可；
（2）设，利用向量的共线求出即可得解；
（3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解.
【小问1详解】
依题意，
，
；
【小问2详解】
因交于，由（1）知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，
所以，所以，即；
【小问3详解】
由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又不共线，则有，得，
因为，
所以在上递增，
所以，故取值范围是．
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点．
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解，
（2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解，
（3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解.
【小问1详解】
，
，
，
，
又，，
，,，
【小问2详解】
，
，又，
，
设，，，
，三角形的三个角均小于120，
根据题意可得，
又，
，
，
．
【小问3详解】
由 ，
，，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加可得，
又，
所以，
由于,
所以又
故，所以，
故，且
故，当且仅当时等号成立，
又，所以
，
令，则，
所以，
由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数，
故，进而
【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.