山东省实验中学东校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题含答案

这是一份山东省实验中学东校区2026届高三下学期3月学情检测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了36 B， 生物学指出等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案 标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 y=−2 的倾斜角为 ( )
A. π2 B. 0
C. π4 D. −π2
2. 已知复数 z 的共轭复数为 z ,若 1−iz=1+iz ,则 z 可以为( )
A. 2+2i B. 2−2i C. 1+2i D. 2−i
3. 函数 fx=3cs2x−π4 的一个对称中心是( )
A. π8,0 B. 3π8,0 C. 5π8,0 D. 3π4,0
4. 在边长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， P 是线段 BD1 上一点，则点 P 到直线 AC 距离的最小值为( )
A. 32 B. 26 C. 33 D. 66
5. 已知全集 U=N ，集合 A={x∣x=3k,k∈N} ， B={x∣x=6k,k∈N} ，则正确的关系是 ( )
A. A∪B=B B. B∩∁UA=⌀ C. B∪∁UA=U D. A∩∁UB=A
6. 已知 PA=0.6,PB=0.3 ,若 A,B 互斥,则 PAB+PAB= ( )
A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9
7. 生物学指出: 生态系统中, 在输入一个营养级的能量中, 大约 10% 的能量能够流到下一个营养级. 在 H1→H2→H3→H4 这个生物链中,若能使 H4 获得 10 kJ 的能量,则需 H1 提供的能量为( )
A. 102 kJ B. 103 kJ C. 104 kJ D. 105 kJ
8. 在 △ABC 中，点 O 满足 OA=OB=OC ，且 AO=49AB+19AC ，则 AB 与 AC 的夹角的余弦值为( )
A. 74 B. 38 C. 28 D. 24
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=x3+ax2−2x+1 ,则 ( )
A. fx 可能没有零点
B. fx 有两个极值点
C. ∀a∈R,fx 在 −∞,0 有最大值
D. ∃a∈R,fx 在 0,+∞ 单调递增
10. 设矩形 ABCD ( AB>BC ) 的周长为定值 2a ,把 △ABC 沿 AC 向 △ADC 折叠, AB 折过去后交 DC 于点 P ，如图，则下列说法正确的是( )

A. 矩形 ABCD 的面积有最大值 B. △APD 的周长为定值
C. △APD 的面积有最大值 D. 线段 PC 有最大值
11. 已知单位圆 O 的内接正 n 边形 A1A2A3…An 的边长、周长和面积分别为 an,Ln,Sn ,则下列结论正确的是( )
A. an=2csπn B. LnL2n=csπ2n
C. SnS2n=csπn D. Ln2−a2n2=4Sn
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线 y2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，则 P 与焦点 F 间的距离 PF= _____.
13. 已知数列 an 满足 a1=a2=1 ，且 an+2=2an,n为奇数an+1,n为偶数，该数列前 20 项和S20= _____.
14. 曲线 y=ex 上两点 A,B 关于直线 y=x 对称的点 A′,B′ 在曲线 y=kx2−x 上,则 k 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
15. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 cb2+c2−a2=1b .
(1)求A；
(2)设 ∠BAC 的平分线交线段 BC 于点 D ，若 BD=2DC ，证明: △ABC 为直角三角形.
16. 已知函数 fx=ln1−x+kln1+x,k≠0 .
(1)若函数 fx 存在一条对称轴，求 k 的值；
(2)求函数 fx 的单调区间.
17. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形， A1A⊥BC ， A1C⊥AB .

(1)求证: A1A=A1B=A1C ；
(2)若 ∠A1AB=∠A1AC=45∘ ，且 AB=2 ，求直线 AC1 与平面 AA1B1 的所成角的余弦值.
18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程:家政和园艺，共有 400 名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失. 已知男生中选择家政课的比例为 80% .
(1)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联?
(2)学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长 x (分钟) 和学生任务完成率 y% 的对应数据如下:
在任务完成率不全相等的条件下, 学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况,需计算偏差系数 φn ,现给出以下两种数据处理方式:
甲: φn=1ni=1nyi−y ,乙: φn=1ni=1nyi−y2 ,已知偏差系数越大的处理方式,对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显.
①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数 φn ，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显;
②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理, 并证明你的判断.
附: χ2=nad−bc2a+ca+bb+dc+d,n=a+b+c+d .
19. 已知曲线 C:x−12+y−12=4 .
(1)求曲线 C 围成的平面图形的面积；
(2)若 M,N 是曲线 C 上的两个动点，求 MN 的最大值；
(3)是否存在直线 y=x+t 与曲线 C 至少有三个不同的公共点？若存在，求 t 的取值范围； 若不存在, 请说明理由.
1. B
直线 y=−2 为平行于 x 轴的直线,
所以倾斜角为 0 .
故选: B
2. A
设复数 z=a+bi,a,b∈R ,其共轭复数为 z=a−bi .
将 z 和 z 代入方程:
1−ia+bi=1+ia−bi
展开并简化左右两边:
左边:
1−ia+bi=a+bi−ai−bi2=a+b+b−ai
右边:
1+ia−bi=a−bi+ai−bi2=a+b+a−bi
比较实部和虚部:
实部:
a+b=a+b (恒成立)
虚部:
b−a=a−b
解得:
2b=2a⇒b=a ,即复数 z 的形式为 a+ai (其中 a 为实数).
检查选项:
A: 2+2i: 满足 a=2 且 b=2 ,符合条件.
B: 2−2i : 不满足 a=b .
C: 1+2i : 不满足 a=b .
D. 2−i : 不满足 a=b .
故选: A.
3. B
由 2x−π4=π2+kπ,k∈Z ,可得 x=3π8+kπ2,k∈Z ,
即函数 fx=3cs2x−π4 的对称中心为 3π8+kπ2,0,k∈Z ,
结合各选项,可知仅 3π8,0 满足题意,故 B 正确, A,C,D 均错误.
故选: B.
4. D
如图,连接 AP,CP,BD ,由正方体的性质易知 △ABP≅△CBP ,所以 PA=PC , 过点 P 作 PE⊥AC 于 E ,则 PE 即为点 P 到直线 AC 的距离,则 E 是 AC 的中点,
所以 E 是 AC 与 BD 的交点,当 PE⊥BD1 时, PE 取得最小值,
又 sin∠DBD1=DD1BD1=33 ,在 △BEP 中, BE=22 ,
所以此时 PE=BE⋅sin∠DBD1=66 ，故点 P 到直线 AC 的距离的最小值为 66 .
故选: D.

5. B
由 A={x∣x=3k,k∈N} ,当 k=2n,n∈N,A={x∣x=6n,n∈N} ,所以 A=B , 当 k=2n+1,n∈N ， A=x∣x=6n+3,n∈N ，所以 B⊆A ，所以 A∪B=A ，故 A 错误； B∩∁UA=⌀ ,故 B 正确; 由 B⊆A ，所以 B∪∁UA≠U ，故 C 错误；
因为 B⊆A ,所以 A∩CUB≠A ,故 D 错误.
故选: B.

6. D
因为 A,B 互斥,所以 PAB=PB=0.3,PAB=PA=0.6 , 故 PAB+PAB=0.3+0.6=0.9 ,
故选: D.
7. C
设 H1 需提供的能量为 a ,由题意知: H2 的能量为 10%a,H3 的能量为 10%2a,H4 的能量为 10%3a ,
即 10%3a=10 ,解得: a=104 ,
所以要能使 H4 获得 10 kJ 的能量,则需 H1 提供的能量为 104 kJ .
故选: C.
8. A
设 △ABC 的三边分别为 a,b,c ，
AB⋅AO=AB⋅49AB+19AC=49AB2+19AB⋅AC=49c2+19AB⋅AC,
AC⋅AO=AC⋅49AB+19AC=19AC2+49AB⋅AC=19b2+49AB⋅AC,
因为 OA=OB=OC ,所以点 O 是 △ABC 外接圆的圆心,
所以 AB⋅AO=12AB2=12c2,AC⋅AO=12AC2=12b2 ,
所以 12c2=49c2+19AB⋅AC ,即 AB⋅AC=12c2 ,
12b2=19b2+49AB⋅AC ,即 AB⋅AC=78b2 ,
所以 12c2=78b2 ,即 c=72b ,
cs⟨AB,AC⟩=AB⋅ACACAB=78b2b×72b=74.
故选: A
9. BC
选项 A，三次函数 fx=x3+ax2−2x+1 ，当 x→+∞ 时， fx→+∞ ，当 x→−∞ 时， fx→−∞ ,所以函数至少有一个零点,选项 A 错误;
选项 B, fx=x3+ax2−2x+1,f′x=3x2+2ax−2 ,判别式
Δ=2a2−4×3×−2=4a2+24>0 ,故导数恒有两个不同的零点,对应原函数有两个极值点, 选项 B 正确;
选项 C, f′x=3x2+2ax−2 ,根据韦达定理,导函数的两个零点之积为 −23 ,所以两个零点一正一负,故在 −∞,0 内仅有一个极值,由于导函数二次项系数为正,该极值为极大值, 也为最大值,选项 C 正确;
选项 D,fx 在 0,+∞ 单调递增需 f′x≥0 恒成立,但 f′x=3x2+2ax−2 开口向上,且必有一个正的变号零点,导致原函数在 0,+∞ 存在递减区间,选项 D 错误.
故选: BC.
10. BC
对于选项 A : 设 AB=x ,则 BC=a−x ,
因为 AB>BC ,所以 x∈a2,a .
矩形 ABCD 的面积 S=AB⋅BC=xa−x0 关于 y=x 对称,
又 y=ex 上两点 A,B 关于直线 y=x 对称的点 A′,B′ 在曲线 y=kx2−x 上,
故 y=lnxx>0 与 y=kx2−x 有 2 个交点,
即 lnx=kx2−x 有 2 个不同的实根,
即 lnxx=kx−1 有 2 个不同的实根,
设 hx=lnxx ,则 h′x=1−lnxx2 ,
当 0e 时, h′x