山东省实验中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性测试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省实验中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性测试数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了03）， 若函数满足，则， 已知函数满足，则的值为， 函数在上的最小值为， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
（2025.03）
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页．考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若函数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 已知曲线在处的切线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在上的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
5. 曲线上点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在处有极小值B. 函数在处有极小值
C. 函数在区间内有个极值点D. 导函数在处有极大值
10. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B 有最大值
C. 当时，的图象过的切线有且仅有条
D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是
11. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递减区间为_______.
13. 曲线的对称中心为_______．
14. 已知，函数，若对任意，恒成立，则a的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求曲线在处切线方程；
（2）求在区间上的最值．
16. 已知函数上点处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．
17. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
18. 已知函数．
（1）若为的一个极值点，求；
（2）求的最小值；
（3）若，证明：当时，．
19. 设次多项式，若其满足，则称多项式为切比雪夫多项式．已知为切比雪夫多项式．
（1）求的解析式；
（2）求证：；
（3）若，求证：．
山东省实验中学2023级阶段性测试
数学试题
（2025.03）
说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第4页．考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若函数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义及已知求值即可.
【详解】由题设.
故选：C
2. 已知曲线在处的切线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义可得出的值，由点在直线上可得出，即可得解.
【详解】直线斜率为，由导数的几何意义可得，
因为点在直线上，则，
因此，.
故选：A.
3. 已知函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可.
【详解】因为，则，
所以，，解得.
故选：D.
4. 函数在上的最小值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案.
【详解】由，求导可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以.
故选：B.
5. 曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处的切线为，
需求曲线到直线距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线的距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可.
【详解】，
若函数在上单调递增，
则在上恒成立，
故在上恒成立，
故.
故选：B
7. 已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可.
【详解】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为.
故选：A
8. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，分析可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】设切点为，因为，则，
切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，
整理可得，
令，则，
由可得或，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在处有极小值B. 函数在处有极小值
C. 函数区间内有个极值点D. 导函数在处有极大值
【答案】BD
【解析】
【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误，
对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧，
所以函数在处有极小值，故选项B正确，
对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有，
所以不是的极值点，故选项C错误，
对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减，
所以在处有极大值，故选项D正确，
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 有最大值
C. 当时，的图象过的切线有且仅有条
D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；分析函数的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；设切点坐标为，利用导数求出切线方程，再将点的坐标代入切线方程，判断关于的方程解的个数，可判断C选项；令，求导得到其单调性和最值，数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的，恒成立，
所以，在区间上单调递增，A对；
对于B选项，当时，，当时，.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以有最小值，无最大值，B错；
对于C选项，当时，，设切点为，
，则切线斜率为，
所以曲线在点的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程为，整理可得，
，即方程有两个不等的实根，
所以，当时，的图象过的切线有且仅有条，C对；
对于D选项，方程，即，
令，而，
当时，，当时，.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，且，如图，
要使方程有两个不等实根，的范围是，D错.
故选：AC.
11. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意可得对一切恒成立，
令，则，
当时，，故在上单调递减，
此时在上无最小值，不符合题意，
当时，令，有，令，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即，则，
令，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，即，当，满足题意.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递减区间为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数求得的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，
，
由得，由得，
所以区间上单调递减．
故答案为：
13. 曲线的对称中心为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，设函数的对称中心为，则，等式两边求导可得出的对称轴方程，可得出的值，再由求出的值，即可得出对称中心的坐标.
【详解】设，设函数的对称中心为，则，
等式两边求导得，即，
所以，函数的图象关于直线对称，
因为，故函数的图象关于直线对称，则，
因为，
所以，函数的对称中心为.
故答案为：.
14. 已知，函数，若对任意的，恒成立，则a的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由变形可得，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，参变分离可得，其中，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最小值.
【详解】对任意的，则，因为，则，
由，可得，
构造函数，其中，则，即函数在上为增函数，
由可得，所以，，
所以，，其中，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，则，故.
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值，最小值
【解析】
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值.
【小问1详解】
因为，则，
，则，
所以，曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由可得，列表如下：
所以，函数在、上递增，在上递减，
当时，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，，.
16. 已知函数上点处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式；
（2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，
因为函数图象上点处的切线方程为，
所以，，，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，，，
由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示：

由图可知，实数的取值范围是.
17. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）由结合参变分离得出，利用导数求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，且.
当时，对任意的，恒成立，即函数的增区间为，无减区间；
当时，由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
对任意的，由可得，
令，其中，则，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递减，
故当时，，故函数在上单调递减，
所以，，故，即实数的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）若为的一个极值点，求；
（2）求的最小值；
（3）若，证明：当时，．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极值点，可得出关于实数的等式，解之即可；
（2）分析函数的单调性，可求出函数的最小值；
（3）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，令，将所证不等式变形为，令，利用导数证明出即可.
【小问1详解】
因为，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数在处取得极小值，故，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数的最小值为.
【小问3详解】
要证明，
即证明，
因为，且，所以，
故只需证明，即，即，
令，其中，则，即函数在上为增函数，
当时，；当时，，故，即证，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
故，故所证不等式成立.
19. 设次多项式，若其满足，则称多项式为切比雪夫多项式．已知为切比雪夫多项式．
（1）求的解析式；
（2）求证：；
（3）若，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设的含义可得相关等式，即可求解；
（2）由题设求出，继而利用构造函数，结合导数与函数单调性的关系即可求解；
（3）利用时，，推出，即得．再由（2）可得，记得，继而结合数列求和的方法即可求解.
【小问1详解】
由于是切比雪夫多项式，故可设，
则，且，
得，
比较系数得，，所以．
【小问2详解】
由题得，且，
故，即，
比较系数得，，，
所以．
要证明，只需证，
只需证．
令，
则，令，则，等号仅在部分点处取得，
所以在上单调递增，易知，
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增．
故，原式得证．
【小问3详解】
因为，所以数列是递减数列，故．
先证明当时，．
令，则，
所以在上单调递增，故，即当时，，
可得当时，，所以．
由（2）可得（当时等号成立），
所以，
当时，有，
当时，，
故，
原式得证．
【点睛】难点点睛：本题是一到综合题，涉及到新的知识点以及三角函数和导数的相关应用，综合性较强，难点在第三问中不等式的证明，解答时要注意当时，的应用，继而利用数列求和进行求解．
增
极大值
减
极小值
增
增
极大值
减
极小值
增