重难点02 函数性质的灵活运用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31157" 【题型1 函数的单调性的综合应用】 PAGEREF _Tc31157 \h 3
\l "_Tc18437" 【题型2 函数的最值问题】 PAGEREF _Tc18437 \h 4
\l "_Tc9452" 【题型3 函数的奇偶性的综合应用】 PAGEREF _Tc9452 \h 4
\l "_Tc11109" 【题型4 函数的对称性及其应用】 PAGEREF _Tc11109 \h 5
\l "_Tc8796" 【题型5 对称性与周期性的综合应用】 PAGEREF _Tc8796 \h 5
\l "_Tc14469" 【题型6 类周期函数】 PAGEREF _Tc14469 \h 6
\l "_Tc30289" 【题型7 抽象函数的性质及其应用】 PAGEREF _Tc30289 \h 7
\l "_Tc10184" 【题型8 函数性质的综合应用】 PAGEREF _Tc10184 \h 8
1、函数性质的灵活运用
函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点、热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复习时要加强训练.
【知识点1 函数的单调性与最值问题的解题策略】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
(4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=，则T=2a；
(5)若f(x+a)=，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
【知识点4 抽象函数的解题策略】
1．抽象函数及其求解方法
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
【题型1 函数的单调性的综合应用】
【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数fx定义域为R，且函数fx与fx+1均为偶函数，当x∈0,1时，fx是减函数，设a=f38，b=f92，c=flg1612，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．a>c>b
C．c>a>bD．b>a>c
【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（ ）
A．1,+∞B．2,+∞C．−∞，1D．−∞，2
【变式1-2】（2024·山东·二模）已知函数fx=2x2−mx+1在区间−1,+∞上单调递增，则f1的取值范围是（ ）
A．7,+∞B．7,+∞
C．−∞,7D．−∞,7
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间(−m,m)(m>0)上，值域为R的函数f(x)满足：①当00；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：f(a+b)=f(a)+f(b)1−f(a)f(b)．则（ ）
A．f(0)=1
B．∀x1,x2,−mfx2
C．函数f(x)在区间(0,m)上单调递减
D．函数f(x)在区间(−m,m)上单调递增
【题型2 函数的最值问题】
【例2】（2024·安徽淮北·二模）当实数t变化时，函数fx=x2+t,x∈−4,4最大值的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知x>0，y>0且x+y=1，则x21+x2+y21+y2的最小值为（ ）
A．15B．25C．35D．45
【变式2-2】（2024·江西鹰潭·三模）若fx=x+2+3x−a的最小值是4，则实数a的值为（ ）
A．6或−18B．−6或18
C．6或18D．−6或−18
【变式2-3】（2024·全国·三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3，则实数b的取值范围是（ ）
A．−∞,−4B．9,+∞C．−4,9D．−92,9
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【例3】（2024·安徽亳州·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在0,+∞上单调递减，则（ ）
A．ff2>ff3B．fg2C．gg2>gg3D．gf2【变式3-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fx+fy成立，且f0=1，则（ ）
A．fx+1为奇函数B．fx+1为奇函数
C．fx+1为偶函数D．f(x)−1为偶函数
【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·三模）已知fx是定义在R上的函数，且f2x−1为偶函数，fx−2是奇函数，当x∈0,1时，fx=2x−1，则f7等于（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的mA．[−3,−1]∪[0,1]B．[−2,2]
C．(−∞,−3)∪(−2,0)∪(2,+∞)D．[−3,−1]∪(0,1]
【题型4 函数的对称性及其应用】
【例4】（2024·四川·三模）定义在R上的函数y=fx与y=gx的图象关于直线x=1对称，且函数y=g2x−1+1为奇函数，则函数y=fx图象的对称中心是（ ）
A．−1,−1B．−1,1C．3,1D．3,−1
【变式4-1】（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2x2x−1+1，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数fx单调递增B．函数fx值域为0,2
C．函数fx的图象关于0,1对称D．函数fx的图象关于1,1对称
【变式4-2】（2024·四川南充·三模）已知函数fx、gx的定义域均为R，函数f(2x−1)+1的图象关于原点对称，函数g(x+1)的图象关于y轴对称，f(x+2)+g(x+1)=−1,f(−4)=0，则f(2030)−g(2017)=（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【变式4-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数y=f(x)的定义域是−∞,0∪0,+∞，对任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠x2，都有x2fx2−x1fx1x2−x1>0，若函数y=fx+1的图象关于点−1,0成中心对称，且f1=4，则不等式fx>4x的解集为（ ）
A．−1,0∪0,1B．−1,0∪1,+∞
C．−∞,−1∪0,1D．−∞,−1∪1,+∞
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2024·全国·模拟预测）若定义在R上的函数fx满足fx=fx，且f2+x+f2−x=6,f3=6，则下列结论错误的是（ ）
A．f8+x=fxB．fx的图象关于直线x=4对称
C．f201=3D．y=fx+2−3是奇函数
【变式5-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在R上的函数fx满足f2−x=fx，f1=2，f3x+2为奇函数，有下列结论：
①直线x=1为曲线y=fx的对称轴；②点23,0为曲线y=fx的对称中心；③函数fx是周期函数；④i=12004fi=0；⑤函数fx是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，函数f2x+3的图象关于点−1,1对称．若对任意x∈R，有fx+3=x+f3−x，则下列说法正确的是（ ）
A．gx不为周期函数B．fx的图象不关于点1,1对称
C．g211=12D．f985=1
【变式5-3】（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(0)<0，f(3−x)=f(1+x)，g(2−x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，则下列说法中错误的是（ ）
A．x=6是函数f(x)图象的一条对称轴
B．2是g(x)的一个周期
C．函数f(x)图象的一个对称中心为3,0
D．若n∈N∗且n<2023，f(n)+f(n+1)+⋯+f(2023)=0，则n的最小值为2
【题型6 类周期函数】
【例6】（2024·山东青岛·模拟预测）函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−1，且当x∈0,1时，fx=x1−x.若对任意x∈−∞,m，都有fx≤1625，则m的最大值是（ ）
A．115B．145C．3215D．4115
【变式6-1】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数” 如下: 函数y=fx,x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立，此时T为fx的周期. 若y=fx是1,+∞上的a级类周期函数，且T=1，当x∈1,2时，fx=2x+1,且y=fx是1,+∞上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．56,+∞B．2,+∞C．53,+∞D．10,+∞
【变式6-2】（2024·河南新乡·三模）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2−x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤38成立，则a的取值范围是（ ）
A．72,+∞B．52,+∞
C．−∞,−32D．−∞,−52
【变式6-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fx=1−2x−1.当x∈m,+∞时，fx≤332，则m的最小值为（ ）
A．278B．298C．134D．154
【题型7 抽象函数的性质及其应用】
【例7】（2024·山西吕梁·一模）已知函数fx满足fx+y+fx−y=23fxfy，f1=32，则下列结论不正确的是（ ）
A．f0=3B．函数f2x−1关于直线x=12对称
C．fx+f0≥0D．fx的周期为3
【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数fx,gx满足：g0≠0，fxgy−fygx=fx−y，且gxgy−fxfy=gx−y，则下列说法不正确的是（ ）
A．g0=1B．fx是奇函数
C．若f1+g1=1，则f2024−g2024=−1D．gx是奇函数
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数fx的定义域是0,+∞，且对任意正实数x，y都有fxy=fx+fy恒成立，已知f2=1，且当x>1时，fx>0.
(1)求f12的值；
(2)判断y=fx在区间0,+∞内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式f2x>f8x−6−1.
【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数p(x)，q(x)的定义域均为R，且满足：①∀x>0，p(x)>0；②q(x)为偶函数，q(x)≥q(0)=1；③∀x，y∈R，p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).
(1)求p(0)的值，并证明：p(x)为奇函数；
(2)∀x1,x2∈R，且x1①p(x1)=px1+x22qx1−x22+qx1+x22px1−x22；
②p(x)单调递增.
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知fx=ax2+bx+c4+x2是定义在[－2，2]上的函数，若满足fx+f−x=0且f(1)=15．
(1)求fx的解析式；
(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R，若对任意x1,x2∈1,2，都有gx2【变式8-1】（2024·上海宝山·一模）已知函数fx=x2−ax−a，a∈R.
(1)判断函数fx的奇偶性；
(2)若函数Fx=x⋅fx在x=1处有极值，且关于x的方程Fx=m有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记gx=−ex（e是自然对数的底数）.若对任意x1、x2∈0,e且x1>x2时，均有fx1−fx2【变式8-2】（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数f(x)的定义域为R，∀a,b∈R，fa+b+fa−b=3fafb，且f(1)=13,f(x)在区间[0,3]上单调递减．
(1)求证：f(x)+f(0)≥0；
(2)求f(1)+f(2)+⋯+f(2023)的值；
(3)当x∈R时，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集．
【变式8-3】（2023·上海浦东新·模拟预测）已知定义域为D的函数y=fx.当a∈D时，若gx=fx−fax−a（x∈D，x≠a）是增函数，则称fx是一个“Ta函数”.
(1)判断函数y=2x2+x+2（x∈R）是否为T1函数，并说明理由；
(2)若定义域为0 , +∞的T0函数y=sx满足s0=0，解关于λ的不等式s2λ<λs2；
(3)设P是满足下列条件的定义域为R的函数y=Wx组成的集合：①对任意u∈R，Wx都是Tu函数；②W0=W2=2，W−1=W3=3. 若Wx≥m对一切Wx∈P和所有x∈R成立，求实数m的最大值.
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于x的不等式f2x>f1−x的解集为（ ）
A．13,+∞B．−∞,13C．13,1D．−1,13
2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x2−2ax,x≥1a2x−1,x<1是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．(0,45)B．(0,45]C．(0,1)D．(0,1]
3．（2024·上海黄浦·二模）设函数fx=−x2+ax+20,−4≤x≤0ax2−2x+3,00恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．0,13
C．516,1D．13,1
4．（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xx+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．fx+1−2B．fx−1−2C．fx−1+2D．fx+1+2
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在2，+∞上单调递减，则f1，f2与f4的大小关系是（ ）
A．f4C．f16．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为xx≠0的函数fx满足fx+yfx+fy=fxfy，f1=2，且当x∈0,+∞时，fx>0恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．f23=6B．f2x=2fx
C．fx为奇函数D．fx在区间0,+∞是单调递增函数
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−1+x为偶函数，函数Gx=f2+3x−1为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数fx的一个对称中心为2,1B．f0=−1
C．函数fx为周期函数，且一个周期为4D．f1+f2+f3+f4=6
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数y=fx是定义在R上的函数，f1+x=f1−x，函数fx+1的图象关于点−1,0对称，且对任意的x1,x2∈0,1,x1≠x2，均有x13fx1+x23fx2>x13fx2+x23fx1，则下列关于函数y=fx的说法中，正确的个数是（ ）
①fx+2=fx−2；
②f−132③函数y=fx在2,4上单调递增；
④不等式fx≥0的解集为4k,4k+2k∈Z.
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（2024·河北沧州·二模）已知fx是定义在0,+∞上的单调递增且图象连续不断的函数，若∀x,y∈0,+∞，恒有fx+y=fx+fy1+fxfy成立，设x1>x2>1，则（ ）
A．f0=0
B．∃x0∈0,+∞,fx0=1
C．fx1+fx22>fx1+x22
D．fx1+fx2210．（2024·新疆·三模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意实数x，y满足fx+y−fx−y=2gxfy，f2+f1=0且f2⋅f1≠0，则下列结论正确的是
A．f0=0B．g1=−12
C．fx为奇函数D．n=12024fn=2024
11．（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数fx的定义域为R,∀x,y∈R,fx+y−fx−y=2f12−xfy，且f12=1，则（ ）
A．fx为偶函数B．fx=2fx2f1−x2
C．fx的周期为2D．[fx]2+f12−x2=1
三、填空题
12．（2024·青海海西·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且满足fx+2=−f−x，则f1000=
．
13．（2024·天津·一模）记不超过x的最大整数为[x]．若函数f(x)=|2x−[2x+t]|既有最大值也有最小值，则实数t的取值范围是 ．
14．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知fx,gx是定义域为R的函数，且fx是奇函数，gx是偶函数，满足fx+gx=ax2+x+2，若对任意的1−3成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·上海·三模）已知fx=ax−b4−x2，函数y=fx是定义在−2,2上的奇函数，且f1=13.
(1)求fx的解析式；
(2)判断y=fx的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
16．（2024·吉林长春·一模）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0．
(1)证明：f(x)为减函数；
(2)若f12=2，求不等式f(x)+f(x−1)+2>0的解集．
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数fx对任意实数x,y恒有f(x−y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断fx的单调性，并证明;
(3)解关于x的不等式:fx2−(a+2)x+f(a+y)+f(a−y)>0.
18．（23-24高二下·江西南昌·期末）定义在−2,2上的函数y=fx满足：对任意的m,n∈−2,2，都有fm+n=fm+fn成立，且当x>0时，fx>0．
(1)求证：fx在−2,2上是单调递增函数;
(2)解关于x的不等式：fx(3)已知f1=12，若fx≤t2−2at−2对所有的x∈−2,2及a∈−2,2恒成立，求实数t的取值范围．
19．（2024·天津河北·模拟预测）已知a>0，函数fx=ax2+bx+ca,b,c∈R．
(1)函数fx的图象经过点0,−2，且关于x的不等式fx≤0的解集为−1,2，求fx的解析式；
(2)若fx有两个零点α，βα<β，且fx的最小值为−4a，当0(3)设b=2a，记ℎt为集合fxt−1≤x≤t+1t∈R中元素的最大者与最小者之差，若对∀t∈−∞,−1，ℎt>a2−a恒成立，求实数a的取值范围．