2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练4　平面向量的综合应用（含解析）

这是一份2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练4　平面向量的综合应用（含解析），共7页。试卷主要包含了设向量a=,b=,则等内容，欢迎下载使用。
1.(2023全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cs=( )
A.117B.1717
C.55D.255
2.(2025浙江金华三模)已知|a|=1,|a+b|=5,向量a与b的夹角为π4,则|b|=( )
A.1B.2
C.3D.22
3.(2024全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+3是a∥b的充分条件
4.(2025江苏南通一模)若非零向量a,b满足|a|=2|b|,且向量b在向量a上的投影向量是-14a,则向量a与b的夹角为( )
A.π6B.2π3
C.5π6D.π
5.(2025湖南长沙模拟)已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则AF·AB=( )
A.23B.56
C.1D.76
6.(2025山东烟台一模)在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,则|AD|=( )
A.7B.13
C.21D.27
7.(2025江苏南京二模)在四边形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,F是线段BE上的动点,可以与点B,E重合,则FB·FC的最小值为( )
A.-43B.-54
C.-45D.-79
8.(2025广东惠州模拟)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a-2b)⊥a,则|a-b|= .
9.(2025江苏南京模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设AM=xAB,AN=yAC,则x+4y的最小值为 .
关键能力提升练
10.(2025山东济南二模)在正方形ABCD中,AB=4,E为AB的中点,F为BC边上靠近点C的四等分点,AF与DE交于点M,则cs∠EMF=( )
A.-2525B.-255
C.2525D.255
11.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是( )
A.[-5,3]
B.[-3,5]
C.[-6,4]
D.[-4,6]
12.(多选题)(2025浙江台州二模)已知|a|=2,|b|=3,|c|=4,则下列选项正确的是( )
A.|a+b+c|的取值范围是[0,9]
B.(a+b)·(a+c)的最大值为30
C.(a+b)·(a+c)的最小值为-212
D.(a+b)·(a+c)的最小值为-10
13.(2025北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,|OA|=|OB|=2,|AB|=2,设C(3,4),则|2CA+AB|的取值范围是( )
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
核心素养创新练
14.(2025山东青岛模拟)“超椭圆”C:xan+ybn=1(n>0)是一种优美的封闭曲线.如图是当n=12,a=b=1时C的图象,点Q是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则QA·QB的取值范围是( )
A.[-18,58]B.[-18,78]
C.[0,58]D.[0,78]
答案：
1.B 解析 ∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cs=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=5×1+3×(-1)52+32×12+(-1)2=2217=1717.故选B.
2.B 解析 因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|×22+|b|2=|b|2+2|b|+1=5,解得|b|=2或|b|=-22(舍去).故选B.
3.C 解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+3或x=1-3.故选C.
4.B 解析 ∵b在a上的投影向量为a·b|a|2·a=-14a,∴a·b|a|2=-14,∴a·b=-14|a|2,则cs=a·b|a||b|=-14|a|2|a|·12|a|=-12,
∵∈[0,π],∴=2π3.故选B.
5.B 解析 因为AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,
所以△FEB∽△FAD,所以AFEF=ADEB=2,所以AF=23AE=23(AB+12AD)=23AB+13AD,故AF·AB=(23AB+13AD)·AB=23AB2+13AD·AB=23×12+13×1×1×12=56.故选B.
6.C 解析 在△ABC中,AB=2AC=6,∠BAC=60°,BC=3BD,
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,
则|AD|=49AB2+19AC2+49AB·AC
=49|AB|2+19|AC|2+49|AB||AC|cs60°
=49×62+19×32+49×6×3×12
=21.
故选C.
7.C 解析 如图,以A为坐标原点,以直线AB,AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
因为AB=AD=2CD=2,E是线段AD的中点,所以A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),E(0,1),而F是线段BE上的动点,从而可设AF=λAB+(1-λ)AE=(2λ,0)+(0,1-λ)=(2λ,1-λ),λ∈[0,1],所以点F的坐标是(2λ,1-λ),所以FB=(2-2λ,-1+λ),FC=(1-2λ,1+λ),
FB·FC=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1=5(λ-35)2-45,λ∈[0,1],
所以当λ=35时,FB·FC取最小值-45.故选C.
8.2 解析 因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,因为|a|=1,所以2a·b=1,又|b|=2,所以|a-b|=(a-b)2=a2+b2-2a·b=12+22-1=2.
9.3 解析 因为点G为△ABC的重心,可得AG=13(AB+AC)=13xAM+13yAN,
又因为G,M,N三点共线,所以13x+13y=1,
易知x>0,y>0,所以x+4y=(x+4y)(13x+13y)=13(5+4yx+xy)≥13(5+24yx·xy)=3,
当且仅当x=1,y=12时,等号成立,所以x+4y的最小值为3.
10.A 解析 如图,∠EMF为DE,AF的夹角,而DE=DA+AE,AF=AB+BF,
所以|DE|=(DA+AE)2
=DA2+2DA·AE+AE2
=16+0+4=25,
|AF|=(AB+BF)2
=AB2+2AB·BF+BF2
=16+0+9=5,
DE·AF=(DA+AE)·(AB+BF)=DA·AB+DA·BF+AE·AB+AE·BF=0-12+8+0=-4.
综上,cs∠EMF=DE·AF|DE||AF|=-425×5=-2525.故选A.
11.D 解析 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cs θ,sin θ),θ∈[0,2π],
∴PA·PB=(3-cs θ,-sin θ)·(-cs θ,4-sin θ)=-3cs θ-4sin θ+sin2θ+cs2θ=1-5sin(θ+φ),其中tan φ=34,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,
∴-4≤PA·PB≤6.故选D.
12.ABC 解析 由向量模长的三角不等式得|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|=2+3+4=9,当且仅当a,b,c同向时,取得最大值9.当向量a,b,c首尾顺次连接构成封闭的三角形时,a+b+c=0,模长为0,由于长度为2,3,4的边满足任意两边之和大于第三边,所以这样的三角形是存在的,故|a+b+c|的取值范围是[0,9],故A正确.因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=4+8cs+6cs+12cs,当a,b,c同向时,cs=cs=cs=1,(a+b)·(a+c)的最大值为4+8+6+12=30,故B正确;因为(a+b)·(a+c)=a2+a·c+a·b+b·c=a2+a·(c+b)+b·c,设d=b+c,则上式为|a|2+a·d+b·c①,当a与d反向时,a·d=2×|d|cs π=-2|d|,d·d=(b+c)·(b+c)=|b|2+|c|2+2b·c=9+16+2b·c,所以b·c=|d|2-252,代入①式得4-2|d|+|d|2-252=|d|2-4|d|-172=(|d|-2)2-212,所以当|d|=2时,(a+b)·(a+c)取得最小值,为-212,此时b·c=-212,所以cs=-2123×4=-78,这种可能性是存在的,故C正确,D错误.故选ABC.
13.D 解析 ∵|OA|=|OB|=2,|AB|=2,∴OA⊥OB,A,B两点在以O为圆心,2为半径的圆上.取AB的中点H,可知|OH|=1,∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上,
则|2CA+AB|2=4CA2+4CA·AB+AB2=4CA(CA+AB)+4=4CA·CB+4=4(CH+HA)(CH+HB)+4=4(CH2-HA2)+4=4(CH2-1)+4=4CH2,∴|2CA+AB|=2|CH|.
∵|CO|-1≤|CH|≤|CO|+1,|CO|=5,∴4≤|CH|≤6,即8≤2|CH|≤12.故选D.
14.D 解析 当n=12,a=b=1时,曲线C的方程为|x| +|y| =1,在曲线C上任取一点P(x,y),则点P关于原点的对称点为点P'(-x,-y),则|-x| +|-y| =|x| +|y| =1,即点P'在曲线C上,所以曲线C关于原点对称,同理可知,曲线C关于x轴、y轴对称.因为过原点O的直线交C于点A,B,则点A,B关于原点对称.在曲线C的方程中,令x=0,可得y=±1,即点Q(0,1),则QA·QB=(QO+OA)·(QO-OA)=QO2-OA2=1-|OA|2.由对称性,不妨设点A(x,y),其中0≤x≤1,0≤y≤1,则x+y=1,|OA|2=x2+y2=x2+(1-x)4,令t=x∈[0,1],f(t)=t4+(1-t)4,其中0≤t≤1,则f'(t)=4t3+4(t-1)3=4(2t3-3t2+3t-1)=4(2t-1)(t2-t+1).因为t2-t+1=(t-12)2+34>0,令f'(t)=0可得t=12,列表如下:
所以函数f(t)[0,12)内单调递减,在(12,1]上单调递增,所以f(t)min=f(12)=2×(12)4=18,又因为f(0)=f(1)=1,则f(t)max=1,所以18≤|OA|2≤1,故QA·QB=1-|OA|2∈[0,78].故选D.t
[0,12)
12
(12,1]
f'(t)
-
0
+
f(t)
单调递减
极小值
单调递增