2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_抢分练1（含解析）

这是一份2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_抢分练1（含解析），共4页。试卷主要包含了双曲线C等内容，欢迎下载使用。
(1)求2局后比赛终止的概率;
(2)在3局后比赛终止的条件下,求棋手挑战成功的概率;
(3)在挑战过程中,棋手每胜1局,获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为P(n),求P(n)的最大值.
2.(17分)(2025山东潍坊二模)双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A,A1,点A1到C的渐近线的距离为22.
(1)求C的方程;
(2)按照如下方式依次构造点An(n≥2且n∈N):过点An-1作斜率为-2的直线交C于另一点Bn-1,设An是点Bn-1关于实轴的对称点,记点An的坐标为(xn,yn).
(ⅰ)证明:数列{xn-yn},{xn+yn}是等比数列,并求数列{xn}和{yn}的通项公式;
(ⅱ)记△AnAAn+1的面积为S,△AnA1An+1的面积为T,求ST的最大值.
答案：
1.解 (1)设每局比赛棋手胜为事件Ai,每局比赛棋手平为事件Bi,每局比赛棋手负为事件Ci(i∈N*),设“两局后比赛终止”为事件M,因为棋手与机器人比赛2局,所以棋手可能得0分或300分比赛终止.
(ⅰ)当棋手得分为0分,则2局均负,即C1C2;
(ⅱ)当棋手得分为300分,则2局先平后胜,即B1A2.因为C1C2,B1A2互斥,
所以P(M)=P(C1C2+B1A2)=P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B1)P(A2)=(12)2+142=516.
所以2局后比赛终止的概率为516.
(2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功”为事件E.
因为P(D)=P(B1B2A3+B1C2C3+C1A2A3+C1B2C3)=143+14×(12)2+12×142+12×14×12=1164,P(E)=P(B1B2A3+C1A2A3)=143+12×142=364.
所以在3局后比赛终止的条件下,棋手挑战成功的概率为P(E|D)=P(DE)P(D)=P(E)P(D)=3641164=311.
(3)因为n局获奖励1万元,说明棋手共胜2局.
(ⅰ)当棋手第n局以0分比赛终止,说明前n-1局中有3负2胜,且是“负胜负胜负”的顺序,其余均为平局,共有Cn-15种,
(ⅱ)当棋手第n局以300分比赛终止,说明前n-1局中有1负1胜,且是先负后胜的顺序,其余均为平局,共有Cn-12种,
则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率P(n)=Cn-15(12)4·14n-4+Cn-12(12)14n-1=Cn-12+8Cn-1522n-1(n≥10).
所以P(n+1)P(n)=Cn2+8Cn54Cn-12+32Cn-15.
Cn2+8Cn5-4Cn-12-32Cn-15=(Cn2-4Cn-12)+8(Cn5-4Cn-15)=(n-1)(8-3n)2+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(20-3n)15.
因为n≥10,所以Cn2+8Cn5-4Cn-12-32Cn-15dn,所以dn≥3+19-43=169,所以ST≤1+83169=1+83×916=1+32=52,当且仅当n=2时,等号成立,所以ST的最大值为52.