2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_规范练1（含解析）

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(1)若L=3a,b>c,求B;
(2)若5cs C=5b-3c且C≠π2,求S的最大值.
2.(15分)(2025浙江衢州、丽水、湖州二模)某校举办定点投篮挑战赛,规则如下:每位参赛同学可在A,B两点进行投篮,共投两次.第一次投篮点可在A,B两点处随机选择一处,第一次选A,B两点的概率均为12.若投中,则第二次投篮点不变;若未投中,则第二次切换投篮点.在A点投中得2分,在B点投中得3分,未投中均得0分,各次投中与否相互独立.
(1)在参赛的同学中,随机调查50名同学的得分情况,得到如下列联表:
根据小概率值α=0.01的独立性检验,分析第一投篮点的选择是否与得分的大小有关联?
(2)小明在A点投中的概率为0.7,在B点投中的概率为0.3.
(ⅰ)求小明第一次投中的概率;
(ⅱ)记小明投篮总得分为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
3.(15分)(2025湖南长沙模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=2AB=2BC=2.
(1)证明:平面PAC⊥平面PCD;
(2)若PA=2,动点M在△PAD内(含边界)且MB2+MD2=5.
(ⅰ)求线段CM的轨迹的长度;
(ⅱ)设直线CM与平面PBD所成的角为θ,求sin θ的取值范围.
答案：
1.解 (1)因为cs A=35,L=3a,所以b2+c2-a22bc=35,a+b+c=3a,
消去a,得(3b-5c)(5b-3c)=0,又b>c,所以b=53c,a=43c,所以b2=a2+c2,即B=π2.
(2)因为5cs C=5b-3c,所以5×a2+b2-c22ab=5b-3c,即a2+b2-c22ab=b-35c,
又cs A=b2+c2-a22bc=35,所以a2+b2-c22ab=b-b2+c2-a22bcc,
化简得a2+b2-c2a=a2+b2-c2.
因为C≠π2,即a2+b2-c2≠0,所以a=1.
因为cs A=b2+c2-12bc=35,所以65bc+1=b2+c2≥2bc(当且仅当b=c=52时,等号成立),所以bc≤54,由题意可知A为锐角,且cs A=35,故sin A=45,因此S=12bcsin A=25bc≤12,即S的最大值为12.
2.解 (1)零假设为H0:得分与第一投篮点选择独立,即得分无差异.
χ2=50×(300-50)225×25×30×20=253>6.635,
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,因此认为得分与第一投篮点选择有关联,此推断犯错误的概率不超过0.01.
(2)设第一次选择在A点投篮记为事件A0,在B点投篮记为事件B0,投中记为事件E,则P(A0)=12,P(B0)=12,P(E|A0)=0.7,P(E|B0)=0.3.
(ⅰ)P(E)=P(EA0)+P(EB0)=P(A0)·P(E|A0)+P(B0)·P(E|B0)=0.5,
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.
(ⅱ)小明投篮总得分X可取0,2,3,4,6,则P(X=0)=12×310×710+12×710×310=21100,
P(X=2)=12×710×310+12×710×710=720,
P(X=3)=12×310×310+12×310×710=320,
P(X=4)=12×710×710=49200,
P(X=6)=12×310×310=9200.
所以X的分布列为
所以E(X)=0×21100+2×720+3×320+4×49200+6×9200=125.
3.(1)证明 由AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=1,可知△ABC为等腰直角三角形,
所以AC=2,∠BAC=∠CAD=π4.
又因为AD=2,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcsπ4=2,
即得AD2=AC2+CD2,AC⊥CD.
因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,
又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC.
又因为CD⊂平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.
(2)解 (ⅰ)因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,
所以以A为坐标原点,以直线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设M的坐标为(0,y,z),又B(1,0,0),D(0,2,0),由MB2+MD2=1+y2+z2+(y-2)2+z2=5,化简得y2-2y+z2=0,即(y-1)2+z2=1,则动点M的轨迹是以线段AD的中点为圆心,以1为半径的圆弧.
由于线段PD的中点N(0,1,1),所以该圆弧经过点N(0,1,1),故动点M的轨迹是四分之一圆弧AN,所以其长度为π2.
(ⅱ)由(ⅰ)可设M(0,1+cs α,sin α),π2≤α≤π,P(0,0,2),C(1,1,0),
BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0),CM=(-1,cs α,sin α),
设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z),则BP·n=0,BD·n=0,即-x+2z=0,-x+2y=0,
取x=2,则n=(2,1,1),
则sin θ=|cs|=|-2+sinα+csα|4+1+1·1+sin2α+cs2α=-2+2sin(α+π4)6×2=2-sin(α+π4)6,
因为π2≤α≤π,所以3π4≤α+π4≤5π4,所以-22≤sin(α+π4)≤22,
所以22≤2-sin(α+π4)≤322,所以36≤sin θ≤32,
所以sin θ∈[36,32].首次投篮点
得分情况
合计
得分≥3分
得分