广东省广州市增城中学高一下学期期中数学试题（原卷版）-A4

这是一份广东省广州市增城中学高一下学期期中数学试题（原卷版）-A4，共4页。
命题人：高一数学备课组
试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是虚数单位，则复数的模为（ ）
A. 2B. C. 10D.
2. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. 3D. 6
3. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A B. C. D.
4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直三棱柱
A B. C. D.
7. 某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（ ）
A. 20mB. 10mC. mD. m
8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 下列命题错误的是（ ）
A.
B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C. 在中，是为锐角三角形的充要条件
D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心
11. 已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ）
A. 的面积为定值B. 使得
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为两个不共线非零向量，若与共线，则k的值为__________．
13. 中，若，则__________．
14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.
16. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
17. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角．
（1）求值；
（2）求的值．
18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记．
（1）若，求的面积；
（2）若，求面积的取值范围．
19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
（1）如图1，求的最小值；
（2）如图2，证明：为定值；
（3）如图3，证明：到的距离为定值．