河北省秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份河北省秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
符合题目要求的。
已知集合A = {x| ― 1 < x < 2}，B = {x|x < 2}，则A ∪ ?RB = ( )
RB. {x| ― 1 < x < 2}
C. {x|x > ―1}D. {x|x < 2}
i2024
复数 1+i = ( )
11111111
A. ― 2 ― 2iB. ― 2 + 2iC. 2 ― 2iD. 2 + 2i
12
已知x > 0，y > 0，且x + y = 1，则x +2y的最小值是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
下列函数中既是偶函数，又在区间(0, + ∞)上单调递增的是( )
1
y = xB. y = ― x
C. y = ―|x|D. y = x2
已知a = 20.2，b = lg20.2，c = lg0.22，则a，b，c的大小关系为( )
A. a < b < cB. b < a < cC. c < b < aD. b < c < a
下列四个函数中，以π为最小正周期，且为奇函数的是( )
ππ
A. y = sin(2 ―2x)B. y = cs(2x + 2)C. y = tan(2x + π)D. y = sin(2π ― x)
在正方体ABCD ― A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是( )
A1B ∥ D1B1
AC1 ⊥ B1C
A1B与平面DD1B1B成 45°
A1B与B1C成 30°角
已知向量a = (2,1)，b = (4,k)(k ∈ R)，若a ⊥ b，则向量a与a ― b夹角的余弦值为()
17
17
C. 2
3
4 17
17
4
D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
下列说法正确的是()
∃x ∈ R，x2 ―2x +2 ≤ 0
x > 2是x ≥ 1的充分不必要条件
函数?(x) = lg2(x +1) ― 1的零点为 1
若y = ?(x +1)的定义域为[0,2]，则y = ?(x)的定义域为[ ― 1,1]
1
下列选项中，值为
2
的是()
7π
A. cs 6B. cs18°cs42° ― sin18°sin42°
tan30°+tan15°
C. 2sin15°cs15°D. 1―tan30°tan15°
给出下列说法，其中正确的是()
数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差与众数之和为 6
已知一组数据 1，2，m，8，m +1，9 的平均数为 6，则这组数据的中位数是 8
已知某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，则小明成绩是全班数学成绩的第 20 百分位数
一组不完全相同数据x1，x2，⋯，xn的方差为 3，则数据 2x1 +1，2x2 +1，⋯，2xn +1的方差为 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
不等式 ― x2 +2x +8 > 0的解集是
设|a| = 4，|b| = 3，夹角为60°，则|a + b|等于
如图，在棱长为 2cm 的正方体ABCD ― A1B1C1D1中，四面体A1 ― BC1D的体积等于cm3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(本小题 13 分)
2x―1
已知函数?(x) = x+1 ,x ∈ [3,5].
判断函数?(x)的单调性,并证明:
求函数?(x)在[3,5]上的最大值和最小值
(本小题 15 分)
3
已知向量a = (sinx, ― sinx)，b = ( ― 2 3sinx,2csx)，函数?(x) = a·b +
求函数?(x)的最小正周期; (2)求函数?(x)的单调递减区间.
求函数?(x)的对称轴方程与对称中心坐标。
(本小题 15 分)
在∆ABC中，B = 60°，AB = 8。
(1)若点M是线段BC的中点，AM =3BM，求边AC的值;
(2)若AC = 12，求∆ABC的面积.
答案和解析
【答案】C
解：由已知B = {x|x < 2}， ∴ CRB = {x|x ≥ 2}，于是A ∪ CRB = {x|x > ―1}。
故选：C。
【答案】C
i2024
(i2)1012
(―1)10121
1―i11
解： 1+i =
故选 C
【答案】C
1+i=
1+i= 1+i = (1+i)(1―i) = 2 ― 2i。
12
解：根据题意，若x > 0，y > 0，且x + y = 1，
122y2x
2y × 2x
xy
则x +2y = (x +2y)( + ) = 5 ++ ≥ 5 + 2 ×
= 5 + 4 = 9，
xyxy
当且仅当x = y = 3时，等号成立，故x +2y的最小值是 9。故选：C。
【答案】D
解：题目要求偶函数，排除 A，B 选项，C 选项在区间(0, + ∞)上单调递减，故排除 C 选项， D 选项既是偶函数，又在区间(0, + ∞)上单调递增，
故选：D。
【答案】D
解：a = 20.2 > 20 = 1，
b = lg20.2 < lg20.5 = ―1，
―1 = lg0.25 < c = lg0.22 < lg0.21 = 0，所以b < c < a
∴ a，b，c的大小关系b < c < a。故选 D。
【答案】B
π
解：由于函数y = sin(2 ―2x) = cs2x最小正周期为π，函数的定义域为 R，cs( ― 2x) = cs2x，
则为偶函数，故 A 错误；
π
由于函数y = cs(2x + 2) = ― sin2x最小正周期为π，函数的定义域为R， ― sin( ― 2x) = sin2x，
则为奇函数，故B正确；
π
由于函数y = tan(2x + π) = tan2x正周期为2且为奇函数，故C错误；
由于函数y = sin(2π ― x) = ― sinx，它的最小正周期为2π且为奇函数，故D错误，故选B．
【答案】B
【解析】解：在正方体中，A1B与D1B1是异面直线，所以A错误；
在正方体中，连接AC1，B1C，BC1，由题可知，AB ⊥ 平面BCC1B1，B1C ⊂ 平面BCC1B1，所以
AB ⊥ B1C，
又因为B1C ⊥ BC1，AB ∩ BC1 = B，AB，BC1 ⊂ 平面ABC1，所以B1C ⊥ 平面ABC1，AC1 ⊂ 平面
ABC1，故AC1 ⊥ B1C，所以B正确；
取B1D1的中点O，连接A1O，则可得∠A1BO为A1B与平面DD1B1B所成的角，这个角不等于45°，所以C不正确；
在正方体中，A1B和B1C所成的角为60°，所以D不正确．故选B．
【答案】A
【解析】解：根据题意，因为a ⊥ b，a = (2,1)，b = (4,k)(k ∈ R)，所以a·b = 2 × 4 + 1 × k = 0，解得k = ―8，
所以b = (4, ― 8)，a ― b = ( ― 2,9)，所以向量a与a ― b夹角的余弦值为：
a(a―b) 2×(―2)+1×9
22+12× (―2)2+92
cs(a,a ― b) = =
|a||a―b|
= 17． 17
故选：A．
【答案】BC
解：对于A.因为x2 ―2x +2 = (x ―1)2 +1 ≥ 1对x ∈ R恒成立，故A错误;
对于B.因为{x|x ≥ 2}⫋{x|x ≥ 1}，所以x > 2是x ≥ 1的充分不必要条件，故B正确;
对于C.因为由lg2(x +1) ― 1 = 0得x = 1，所以函数?(x) = lg2(x +1) ― 1的零点为1，故C正确;对于D.因为函数y = ?(x +1)的定义域为[0,2]，所以1 ≤ x +1 ≤ 3，因此函数y = ?(x)的定义域为 [1,3]，故D错误．
【答案】BC
7ππ
解：
π3，故 A 错误；
cs 6 = cs(π + 6) = ― cs6 = ― 2
1
cs18°cs42° ― sin18°sin42° = cs(18° + 42°) = cs60° = 2，故 B 正确；
1
2sin15°cs15° = sin30° = 2，故 C 正确；
tan30°+tan15°
1―tan30°tan15° = tan(30° + 15°) = tan45° = 1，故 D 错误.
故选：BC.
【答案】AD
解：A.数据 0，1，1，2，2，2，3，4 的极差是 4，众数是 2，所以极差与众数之和为 6，故 A 正确；
1
B.∵ 数据 1，2，m，8，m + 1，9 的平均数为 6，故
6
(1 + 2 + m + m +1 + 8 + 9) = 6，
15m+831
解得m =
，故这组数据的中位数是
2
2 = 4 ，故 B 错误.
C.某班共有 45 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 9 名，即小明的成绩是全班成绩从小到大排列的第 37 个数，
由于 45×20％ = 9，则小明成绩不是第 20 百分位数，故 C 错误；
D.若样本数据x1，x2，…，xn的方差为 3，
则数据2x1 +1，2x2 +1，…，2xn +1的方差为22 × 3 = 12，故 D 正确.
故选：AD.
【答案】(-2,4)
解：原不等式等价于x2 ―2x ―8 < 0，等价于(x +2)(x ―4) < 0，
解得 ―2 < x < 4，
所以不等式的解集为{x| ― 2 < x < 4}.
37
故答案为(-2,4). 13.【答案】
【解答】
解：由已知|a| = 4，|b| = 3，夹角为 60°，
2
则(a + b)2 = a2 +2a·b + b
= |a |2 + 2|a| × |b| × cs60° + |b |2
= 42
12
+ 2 × 4 × 3 × 2 + 3
= 37,
|a + b| =37.
故答案为 37.
8
【答案】
3
【解析】解：四面体A1 ― BC1D的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积
1
1
8
即323 .
V = 2 ―4 × 3 × 2 × 2 × 2 = 3(cm )
8
故答案为：.
3
【答案】解：(1)函数?(x)在x ∈ [3,5]上单调递增; 证明如下:设任意的x1,x2满足3 ≤ x1 < x2 ≤ 5,
因为?(x1) ― ?(x2) =
2x1―1
1
x +1 ―
2x2―1 x2+1
(2x1 ― 1)(x2 + 1) ― (2x2 ― 1)(x1 + 1)
1
=(x + 1)(x + 1)
2
3(x1 ― x2)
1
= (x + 1)(x + 1) ,
2
因为3 ≤ x1 < x2 ≤ 5,所以x1 +1 > 0,x2 +1 > 0,x1 ― x2 < 0,因此?(x1) ― ?(x2) < 0,即
?(x1) < ?(x2),
所以函数?(x)在x ∈ [3,5]上单调递增.
2×3―15
由(1)知函数?(x)在x ∈ [3,5]上单调递增,所以?(x)min = ?(3) = 3+1 = 4;
2
2×5―1335
?(x)max = ?(5) =
5+1 = 2,因此函数?(x)在[3,5]上的最大值为
,最小值为.
4
【答案】解：(1)因为a = (sinx, ― sinx),b = ( ― 2 3sinx,2csx),所以
a·b = ―2 3 sin2x ― 2sinxcsx = ―2 3· 1 ― cs2x ― sin2x
2
π
=3cs2x ― sin2x ―3,所以?(x) =3cs2x ― sin2x = 2cs(2x + 6),故函数?(x)的最小正周
2π
期是T = 2 = π.
ππ
(2)由?(x) = 2cs(2x + 6),得2kπ ≤ 2x + 6 ≤ 2kπ + π(k ∈ Z),解
π5π
得:kπ ― 12 ≤ x ≤ kπ + 12(k ∈ Z),
π5π
所以函数?(x)的单调递减区间为[kπ ― 12,kπ + 12](k ∈ Z).
πkππkπ
对称轴方程 x = 12 + 2 ,k ∈ z 对称中心坐标 (6 + 2 ,0)k ∈ z
(1)设 BM = x,则 AM =3x, ∴在 ΔABM 中, AM2 = AB2 + BM2 ―2AB·BM·csB, ∴
3x2 = 64 + x2 ―8x,整理得 x2 +4x ―32 = 0,解得 x = 4 (x = ―8 舍去), ∴ BC = 8,即 ΔABC 为等边三角形,则 AC = 8.
(2)由正弦定理知: sinB = sinC,由已知得 sinC = 3,
ACAB3
∵ AC > AB,即 C < B = π, ∴ csC = 6,而 sinA = sin(B + C) = sinBcsC + csBsinC = 3 2+ 3,
336
2
1
∴ S = 2AB·AC·sinA = 24+8 3.
【答案】证明:
取 AB 的中点为 N,连接 CN、MN,
因为 AE ⊥ 平面 ABC, CN ⊂ 平面 ABC,故 AE ⊥ CN,而 ΔABC 为等边三角形, N 为 AB 的中点,所以
11
AB ⊥ CN,又 M、N 分别为 BE、AB 所在棱的中点,所以 MN ∥ AE, MN = 2AE.又 CD ∥ AE, CD = 2AE,
所以 CD ∥ MN, CD = MN,故四边形 CDMN 为平行四边形,所以 MD ∥ CN,则 DM ⊥ AE, DM ⊥ AB,又 AB ∩ AE = A,所以 DM ⊥ 平面 ABE.
∵ DM ⊥ 平面 ABE, BE ⊂ 平面 ABE ∴ DM ⊥ BE,且 ∠BED 为直线 DE 与平面 ABE 所成角,由题知
1
2
AB2 + AE2
1
EM = 2EB =
EM
cs∠DEB ==
=2, DM = CN = 2sin60° =3, DE =
DM2 + EM2
2
5
= 10,即直线 DE 与平面 ABE 所成角的余弦值为 10.
=5,则
DE55
【答案】解: (1)由频率分布表知: 数据在 [4,6] 的频数为 17, ∴频率为 0.17, ∴ a = 0.085;
数据在 [8,10] 的频数为 25, ∴频率为 0.25, ∴ b = 0.125; (2)数据的平均数为:
1 × 0.06 + 3 × 0.08 + 5 × 0.17 + 7 × 0.22 + 9 × 0.25 + 11 × 0.12 + 13 × 0.06 + 15 × 0.02
(
+ 17 × 0.02 = 7.68
小时);
0.07
第 60 百分位数: 8 + 2 × 0.25 = 8.56.