湖南省株洲市第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷含答案（word版）

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这是一份湖南省株洲市第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷含答案（word版），文件包含湖南株洲市第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题docx、参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页，欢迎下载使用。
1. A
2. D
3. C
4. B
5. C
6. D
7. A
8. C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. ABD
11. BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 4.
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）由题知，又，A单位圆上，
，则，，
；
（2），
由，得，
则，
，得，
.
16. （1）由函数的部分图象可知，
函数的最小正周期满足，于是，所以，
所以函数，
又，则，所以，
解得，由可得，所以.
令，解得，
故单调递增区间为.
（2）由得，
可得，解得，
故的解集为.
（3）当时，则，因为、，则、，
由于，所以，
所以，所以，
因为，所以，
则，
因此.
17. （1）因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
所以，，
所以时，.
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，，
当时，，则.
故.
∴.
（2）由（1）中的解析式易证在上是增函数.
，
，
，即
当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为.
18. （1）依题意得，
，
所以为定值.
（2）令函数，
则定义域为，
，
则，为奇函数，
所以关于对称，即，
所以（），
且中间项，
故所求式子的值为.
（3）由（1）得，
所以函数，
在定义域R上是单调递增，区间上.
令，，，
在区间内恰有一个零点等价于函数在区间内恰有一个零点.
①当时，只有一个零点，符合题意.
②当时，对于函数，，
（ⅰ）若，即时，有唯一零点，符合题意，
（ⅱ）若，即时，要使在区间内恰有一个零点，则需
①令，解得且，
②令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
③令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
综上所述，实数k的取值范围是.
19. （1）因为在R上为增函数，
所以的值域为，
因为的值域为
当时，，而，
所以不是的“2重覆盖函数”.
（2）当时，为增函数，所以，
当时，为减函数，所以，
所以，时，，
当时，，由二次函数性质得，，
所以，对于，，
使得，
因为当时，，
对于，不存在，使得，
所以要使为的“3重覆盖函数”，
只需，在上有唯一解，
因为，，
所以，即，
解得，
所以m取值范围是.
（3）因为，
因为，所以，
所以，，
所以，
设，，则，令，，
因为为的“2026重覆盖函数”，
所以为的“2026重覆盖函数”，
即，在有2026个根，
作出函数的大致图象（部分），如下图，
要使得在有2026个根，
则，解得
所以正实数a的取值范围是.