湖南株洲市第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
.
2. 已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可.
【详解】由，，，
所以，
因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得，
则，
因为向量，不共线，
所以，解得：，
故选：D
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性以及函数值的符号分析判断即可.
【详解】令，解得，则函数的定义域为，
且，可知函数为奇函数，
其图象关于原点对称，故A错误；
又因为当时，则，，，即，
可得，故BD错误；
故选：C.
4. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合幂函数和对数函数的单调性得出与的大小关系即可.
【详解】，
因在上单调递增，
则，
故；
因，则，即，故；
故.
故选：B
5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可.
【详解】因为，即，
设消除的污染物大约需要，
由题意可得，即，取对数可得，
两式相比可得，则，
所以要消除的污染物大约需要.
故选：C.
6. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ）
A.
B.
C.
D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可.
【详解】对于A，由题意得，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由A知，，
由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确；
对于D，由C知，，且，，
所以，
当且仅当 ，即时取得等号，
所以的最小值为，故D错误.
故选：ABC

7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.
8. 已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先令得到，再逐项分析即可.
【详解】由题意得，，即，
，即，令，，
故都为方程的解，
令，单调递增，也单调递增，故在单调递增，
又，
，即，故B错误，
对于A，，对勾函数在上单调递减，，
，故A错误，
对于C，，两边同时取以2为底的对数得，
，故C正确，
对于D，，故D错误.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列结论正确的有（ ）
A. ab的最小值是B. 的最小值为8
C. 的最小值为2D. 此方程有且仅有3组整数解
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可.
【详解】由，得，又，
所以，即，由得，由,故.
对于A由，令，得，解得，
即，当且仅当时，取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确，
对于C，，
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解；
当时，；当时，，故不满足整数解；
综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数是定义在上的奇函数，且，如图，以点为圆心，为半径的扇形，弧线为函数在上的图象（其中点，），则下列说法正确的有（ ）
A. 扇形的面积为
B. 函数的最小正周期
C. 函数在上单调递减
D. 若，则的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】由知函数的图象的对称轴，从而可得到，进而判断A；由和可推导出周期，从而判断B；根据对称性及周期可判断C；作出函数图象，根据图象可知的最小值即相邻最高点与最低点的横坐标差的绝对值，从而判断D.
【详解】对于A，由知函数的图象关于直线对称，
因为弧线为函数在上的图象，所以点在的图象上，且，
所以轴，因为，所以扇形的半径为，即，
由知，所以，
所以，所以，即，
所以扇形的面积为，故A正确.
对于B，因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
由知，
所以，即函数的最小正周期，故B正确.
对于C，由图知在上单调递减，
因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增，
因为函数的最小正周期，
所以函数在上的图象与在上的图象相同（单调性相同），
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误.
对于D，因为奇函数的图象关于原点对称，根据以上分析可得的大致图象如图所示：
所以的最大值为，最小值为，
若，不妨令，
则在上的图象，至少包含一个最高点，一个最低点，
而相邻最高点、最低点的横坐标差的绝对值为2，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 若方程有个不同的实根，则
D. 若方程有个不同的实根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误.
【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，

令，则，
所以且，
故，A错；
因为，所以，B对；
由，
可得或，
由图知，对应有2个不同解，
故对应必有3个不同解，所以，C对；
对于D:，
由图，当时原方程无解；
当时，，对应唯一的x的值，此时原方程只有1个解，不符；
当时，或各有一个值，
前者有3个、2个、1个x的值与之对应，后者只有1个x的值与之对应，
此时原方程共有4个、3个、2个解，不符题意；
令，得或或，
当时，或或各有一个值，
若，无解；
若，有2个x的值与之对应；
若，有1个x的值与之对应，
故原方程共有3个不同解，不符；
当时，或或，分别有1个解、2个解、1个解，
原方程共有4个解，不符；
当时，或或各有1个值，
若，有2个x的值与之对应；
若，有2个x的值与之对应；
若，有1个x的值与之对应，
故原方程共5个不同解，符合；
当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符；
当时，，原方程只有1个解，不符；
综上，满足题设，D对.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则______
【答案】4
【解析】
【分析】先应用投影向量公式计算得出，再结合平面向量数量积运算律计算模长即可.
【详解】因向量在向量上的投影向量为，
则，即，
又，则有，
故.
故答案为：4.
13. 若，，并且，，且，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，，且，得
又，所以
因为，则，所以
所以
，
且，且，所以.
故答案为：.
14. ，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】先化简函数，化简题中不等式，结合，求解参数范围.
【详解】函数的定义域为，且，
故函数是奇函数，因为递增，递减，所以函数在上单调递增，
当时，，故，当时，，
所以，即，综上可知.
对任意，不等式恒成立，
可得，因为在单调递增，故等价于，
平方整理得，解方程的根或，
对任意，不等式恒成立，即区间是不等式解集的子集.
当时，不等式解集，而，无法满足，舍去；
当时，不等式解集为，区间为，不满足子集关系，舍去；
当时，不等式解集为，需满足，解得，
实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知在平面直角坐标系中，角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点两点，.
（1）若，求及的值；
（2）若，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，再利用诱导公式化简和弦化切，可求得所求代数式的值；
（2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，即可得解.
【小问1详解】
由题知，又，A单位圆上，
，则，，
；
【小问2详解】
，
由，得，
则，
，得，
.
16. 函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式与单调递增区间；
（2）求的解集；
（3）关于的方程在区间上有两个解、且，求.
【答案】（1），单调递增区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的图象可得出的值，该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可得出的值，结合正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间；
（2）由可得出，可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集；
（3）由对称性得出，分析可知，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再由诱导公式可求得的值.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，
函数的最小正周期满足，于是，所以，
所以函数，
又，则，所以，
解得，由可得，所以.
令，解得，
故单调递增区间为.
【小问2详解】
由得，
可得，解得，
故的解集为.
【小问3详解】
当时，则，因为、，则、，
由于，所以，
所以，所以，
因为，所以，
则，
因此.
17. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得；
再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式；
（2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
所以，，
所以时，.
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，，
当时，，则.
故.
∴.
【小问2详解】
由（1）中的解析式易证在上是增函数.
，
，
，即
当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为.
18. 已知函数，.
（1）证明：为定值；
（2）已知函数，求的值；
（3）若函数在区间内恰有一个零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）0 （3）.
【解析】
【分析】(1)化简计算即证；
(2)令函数，判断为奇函数，根据对称性计算即可；
(3)令，等价于函数在区间内恰有一个零点，对进行分类讨论即可.
【小问1详解】
依题意得，
，
所以为定值.
【小问2详解】
令函数，
则定义域为，
，
则，为奇函数，
所以关于对称，即，
所以（），
且中间项，
故所求式子的值为.
【小问3详解】
由（1）得，
所以函数，
在定义域R上是单调递增，区间上.
令，，，
在区间内恰有一个零点等价于函数在区间内恰有一个零点.
①当时，只有一个零点，符合题意.
②当时，对于函数，，
（ⅰ）若，即时，有唯一零点，符合题意，
（ⅱ）若，即时，要使在区间内恰有一个零点，则需
①令，解得且，
②令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
③令，解得，则，
令解得另一个零点为，符合题意，
综上所述，实数k的取值范围是.
19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”.
（1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由；
（2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围；
（3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求值域，再分析的值域，根据 “恰好 2 解” 判断是否满足定义；
（2）先求分段函数的值域，再分别分析两段的单调性与解的个数，根据 “恰好 3 解” 建立不等式，求解参数m的取值范围；
（3）先求出，设，，则，令，，再做出函数的图象，数形结合解决问题.
【小问1详解】
因为在R上为增函数，
所以的值域为，
因为的值域为
当时，，而，
所以不是的“2重覆盖函数”.
【小问2详解】
当时，为增函数，所以，
当时，为减函数，所以，
所以，时，，
当时，，由二次函数性质得，，
所以，对于，，
使得，
因为当时，，
对于，不存在，使得，
所以要使为的“3重覆盖函数”，
只需，在上有唯一解，
因为，，
所以，即，
解得，
所以m取值范围是.
【小问3详解】
因为，
因为，所以，
所以，，
所以，
设，，则，令，，
因为为的“2026重覆盖函数”，
所以为的“2026重覆盖函数”，
即，在有2026个根，
作出函数的大致图象（部分），如下图，
要使得在有2026个根，
则，解得
所以正实数a的取值范围是.
【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数，直线与函数的图象有个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解.