【数学】甘肃省兰州市部分学校2025-2026学年高一上学期期末考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为集合，，所以，
因为集合中只有一个元素，所以集合的子集个数是.
故选：B.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定为“”.
故选B.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】要使有意义，则，解得，且，
故的定义域为.
故选：D.
4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选项A，，则，
但由图象可知，，不满足题意，故A错误；
选项B，，由，解得，
由函数图象可知，函数在处有定义，故B错误；
选项C，，则，理由同A项，故C项也错误；
故的解析式可能是D.
故选：D.
5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，函数单调递增，故有，
此时函数的值域为，
当时，函数单调递减，故有，
此时函数的值域为，
要想函数的值域为，只需.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B.
7. 设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，于是有，
因为，
所以，而，
所以有，即，
故选：A
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由为奇函数，则，即.
又由为偶函数，可得，即，
可得，即，所以，
所以函数是以为周期的周期函数.
因为且，
令，可得且，
又因为，即，即.
因为时，，可得，解得，
再令，可得，即，所以，可得，
所以，则.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设为定义在上的偶函数，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A：显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是奇函数，不符合题意；
B：显然该函数的定义域为全体实数，因为，
所以该函数是偶函数，符合题意；
C：显然该函数的定义域为全体实数，因为，
所以该函数是偶函数，符合题意；
D：由该函数的解析式可知，显然该函数的定义域不为全体实数，不符合题意.
故选：BC.
10. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A：因为，，
所以有，
当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确；
B：因为，所以，，因为，
所以，即，于是有，因此本选项结论正确；
C：当时，显然成立，
而，所以本选项结论不正确；
D：因为，，且，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确.
故选：ABD.
11. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若对任意，，总有，则是奇函数
B. 若对任意，，总有，则是偶函数
C. 若对任意，；总有，则
D. 若对任意，，总有，则
【答案】ACD
【解析】对于A，对任意，，总有，
令得；令得，所以；
令得，所以；
令得，所以是奇函数，故A正确；
对于B，对任意，，总有，令得；
令得，所以是奇函数，故B错误；
对于C，对任意，，总有，由A选项分析，
令得，
又因为，所以，故C正确；
对于D，对任意，，总有，由B选项分析，
令得，
令得，所以；
令得
令得，所以
令得，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡相应位置上.
12. 函数的最小正周期是_______．
【答案】
【解析】函数，，则，
即函数的最小正周期为.
故答案为：.
13. 已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为函数的对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，所以，
因为存在，使得不等式成立，
所以有，或，
因此实数的取值范围为，
故答案为：.
14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】要想对任意实数，
使得以，，数值为边长可构成三角形，
只需，
设，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，
所以，
当时，即时，
，此时，
因此由，而，所以；
当时，即当时，此时，
此时，
因此由，而，
所以，
若时，即时，
若，即当时，
显然此时，
由，显然，
若，即当时，
显然此时，
因此由，而，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）由或，
即或，
若，所以
（2）由或，
即，
因为，所以，即实数的取值范围为.
16. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
解：（1），
（2）因为，.
由（1）得，，
结合，，则，所以,
又因为，
所以，
所以，
.
所以.
17. 北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）.
（1）型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度；
（2）型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值
解：（1）第一阶段：，，
所以最大速度为，
第二阶段，最大速度为，
因此理想状态下型火箭的最大速度为米/秒；
（2）设，要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，
则有
，因为，所以，
因此技术改进前总质比的最小整数值为.
18. 已知函数，的图像关于点中心对称.
（1）求实数的值：
（2）探究的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式.
解：（1）因为函数，的图像关于点中心对称，
所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，
即函数的图像关于点中心对称，
因此函数是奇函数，
于是有，即，
因为，
所以是奇函数，因此符合题意；
（2）因为，所以，
设是任意两个实数，且，
，
因为，所以，因此，
所以函数是增函数；
（3）因为函数，的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以由，
因为函数是增函数，
所以，或，
解得，或.
因此原不等式的解集为.
19. 已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）用表示，中的最大值，设函数，，试讨论的图象与轴的交点个数.
解：（1）函数在是增函数，
在上单调递增，
当且仅当在上单调递增，且，
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，，因此在上无零点；
则只须讨论在上的零点个数，
又时，，则只须讨论在上的零点个数，
对，，，对称轴为，，
①当，即时，在上恒成立，
则，无零点；
②当，则，在上单调递减，显然，，
则存在唯一的，有，且，
因此有2个零点；
③当，即时，
（i），即有时，由，
则存在唯一，有，且，则有2个零点；
（ii），即有时，，则，
则存在唯一，有，且，
则有2个零点；
（iii），即有时，，
由，得，则在上无零点，即无零点，
由，得，则在上恰1个零点，即有1个零点，
由，得，则在上有两个零点，即有2个零点，
综上，当时，无零点，
当时，有1个零点，
当时，有2个零点.