2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.

【详解】因为，所以，

所以，所以

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.

2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.

【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.

故选：B.

3．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4）

C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4]

【答案】D

【分析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，利用判别式法即可求解．

【详解】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，

∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．

故选：D．

4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域的性质求解即可.

【详解】因为函数的定义域是，

所以对于可得或，

从而函数的定义域是. .

故选：A.

5．已知，，，则它们的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.

【详解】根据函数在上单调递减，得且，

又，

故选：B

6．幂函数在区间上单调递减，则（    ）

A．27 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】根据函数为幂函数得到，解方程并验证单调性得到，带入数据计算得到答案.

【详解】是幂函数，故，解得或，

当时，，函数在上单调递增，不满足；

当时，，函数在上单调递减，满足，

故，.

故选：C

7．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．

【详解】因为对任意的，有，

所以当时，，

所以在上是减函数，

又是偶函数，所以，，

因为，所以，

即．

故选：D．

8．已知函数，若，则（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

【答案】C

【分析】由已知对进行分类讨论，然后由可建立关于的方程，可求，进而可求．

【详解】

当时，由可得

解得（舍），

当a≤0时，由可得5（a−2）＋6＝5a＋6，此时a不存在，

当0＜a≤2时，由可得，

解得a＝2，

则．

故选：C．

9．函数的图像可能是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】结合指数函数图像性质，分和两种情况求解即可.

【详解】解：当时，，因此时，，当时，，且函数在上单调递增，故ABC均不符合；

当 时，，因此时，，且函数在上单调递减，故D符合．

故选：D．

二、多选题

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质依次分析ABC选项，利用特殊值分析D选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，由，得，．所以，故正确；

对于B选项，由，得，故正确；

对于C选项，由，故正确；

对于D选项，当，，，时，满足，，但，故错误.

故选：ABC

11．下列说法不正确的是（    ）

A．函数在定义域内是减函数

B．若是奇函数，则一定有

C．若定义在R上的函数的值域为，则的值域为

D．若函数在上是增函数，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】由反比例函数的性质可判断A，由奇函数的性质可判断B，整体换元可判断C，由分段函数的单调性可判断D.

【详解】对于A，由反比例函数的性质可知，函数在（−∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A错误；

对于B，若是奇函数，不一定有，例如为奇函数，但在x＝0处无意义，故B错误；

对于C，若定义在R上的函数的值域为，对于，令，即，解析式和定义域均与定义在R上的函数相同，故值域也为，故C正确，

对于D，若函数在上是增函数，则，

解得−3≤a≤−2，故D错误，

故选：ABD．

12．已知不等式，下列说法正确的是（    ）

A．若，则不等式的解集为

B．若，则不等式的解集为

C．若，则不等式的解集为或

D．若，则不等式的解集为

【答案】BD

【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．

【详解】不等式，

整理得，即，

若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；

若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；

若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；

若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．

【答案】

【分析】当时，，函数为奇函数得到，代入计算化简即可.

【详解】当时，，函数为奇函数，故.

故答案为：

14．计算： ________.

【答案】

【分析】结合指数幂的运算性质，计算即可.

【详解】由题意，.

故答案为：.

15．已知奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为______．

【答案】

【分析】将不等式转化为，根据函数的单调性结合函数定义域解不等式得到答案.

【详解】函数为奇函数，，即，

函数在定义域上单调递减，故，解得.

故答案为：.

16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】结合的值域，可分析得到必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解

【详解】由题意，的值域为：

要使得：的值域为

必为减函数，因此

可作出函数图象如图，由图象可知解之得.

故答案为：

四、解答题

17．集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据补集、并集的知识求得.

（2）根据“”是“”的必要不充分条件列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，

或，

所以.

（2）由于“”是“”的必要不充分条件，所以，

当时，，满足，

则当时，，则，解得.

综上所述，的取值范围是.

18．已知，，均为正实数．

(1)求证：；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明.

（2）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果.

【详解】（1）因为，，均为正实数，

所以当且仅当时，等号成立.

所以

（2）因为，则

当且仅当时，即时，等号成立.

所以的最小值为

19．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）

（1）写出运输总费用元与汽车速度的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．

（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围．

（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？

【答案】（1）1244元；（2）汽车行驶速度不低于时，不高于；（3）汽车应以每小时60千米的速度行驶．

【分析】（1）依题意可得，再将代入计算即可；

（2）依题意得到分式不等式，再根据去掉分母，转化为一元二次不等式，解得即可；

（3）利用基本不等式即可求出的最小值，求出符合条件的即可．

【详解】（1）依题意可得

当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：（元）．

（2）设汽车行驶的速度为，

由题意可得：，

化简得.

解得，

故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于时，不高于．

（3）因为，所以，当且仅当即时取“”，

即当速度为60千米小时时，运输总费用最小．

20．函数，其中．

(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；

(2)若函数在和上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)在区间上的最大值为8，最小值为0.

(2)

【分析】(1)结合已知条件求出的分段函数，然后利用单调性求解即可.(2)结合的单调性即可求解.

【详解】（1）由题意，，且，

结合上式和二次函数性质可知，在和上单调递增，在上单调递减，

故当时，在上单调递减，在上单调递增，

从而在区间上的最小值为，

因为，，

所以在区间上的最大值为.

故在区间上的最大值为8，最小值为0.

（2）由(1)知，在和上单调递增，在上单调递减，

因为函数在和上单调递增，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

21．已知为二次函数，满足，

（1）求函数的解析式

（2）函数，求函数的值域

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，利用可得的值，由，利用对应系数相等列方程可得，的值，进而可得的解析式；

（2）由和复合而成，求出的范围，再由指数函数的单调性即可求解.

【详解】（1）设，

因为，

由可得：，

整理可得：，

所以，可得，所以；

（2）由，可得，

因为是由和复合而成，

因为，即，

在上单调递减，所以，

又因为，所以，

所以函数的值域为.

22．已知函数在上有意义，且对任意，满足．

(1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；

(2)若在上单调递减，且，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，为奇函数，证明见解析.

(2)不存在，理由见解析.

【分析】(1)结合已知条件，利用赋值法即可求，利用奇偶性定义即可证明；(2)结合已知条件，利用奇偶性和函数单调性即可求解.

【详解】（1）因为对任意，满足，

所以令，则，

为奇函数，证明如下：

不妨令，则，

从而，

因为函数的定义域为，

所以为奇函数.

（2）假设存在这样的，使得恒成立，且，

因为，

所以，

从而，

因为在上单调递减，

所以在上恒成立，

由反比例函数性质可知，在上单调递增，

从而，即，这与矛盾，

故假设不成立，即不存在这样的实数，使得恒成立.