黑龙江省2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份黑龙江省2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析，共18页。试卷主要包含了 双曲线的渐近线方程为， 已知两直线，，若，则， 如图所示，双曲线具有光学性质等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用百分位数的定义求数据的上四分位数即可.
【详解】将数据按照从小到大排序，
由，第位与第位平均数为，所以这组数据的上四分位数为10.
故选：D.
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，化简即得双曲线的渐近线方程.
【详解】令，整理即得.
故选：C.
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，各人能破译的概率分别是，则密码破译的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用事件的独立性即可求解.
【详解】由事件的独立性可知，密码被破译的概率为，
故选：C.
4. 若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用椭圆的定义求出，利用即可求解.
【详解】由题意有：，
故选：A.
5. 已知两直线，，若，则（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由两直线平行得，解出即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
故选：D.
6. 已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】先求出线段的中垂线的方程，判断其经过椭圆右焦点，再利用线段中垂线的性质和椭圆的定义即可求得.
【详解】
如图，由知，则，
于是,则线段的中垂线的方程为，
取，解得，即直线经过椭圆的右焦点,
连接,则,
于是的周长为
故选：C.
7. 已知圆与圆相离，且直线被圆截得的弦长为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线和圆的位置关系求得，再根据两圆相离得或，解得答案.
【详解】圆心到距离为，弦长，解得，
又，由两圆相离知，两圆内含或外离，由或，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8. 如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设，结合双曲线定义可得，在中，由勾股定理列式求得，得解.
【详解】如图，由，得，设，
由双曲线定义，得，
所以，，
在中，可得，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，事件为“点数为偶数”，事件为“点数是或”，事件为“点数大于”，下列说法正确的是（ ）
A. 和是互斥事件B. 和是相互独立事件
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】求出样本空间，利用互斥事件定义即可判断A，利用独立事件的定义即可判断B，利用古典概型公式即可判断CD.
【详解】样本空间
对于A： ，所以和不是互斥事件，故A错误；
对于B：由 ，故B正确；
对于C.：由，故C错误；
对于D：由 ，故D正确.
故选：BD.
10. 已知平面上两点，则所有满足的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中两点，，点满足，设点所构成的曲线为，则（ ）
A. 曲线的方程为
B. 曲线上的点的到直线的最小距离为
C. 曲线上任意点，则的最大值为
D. 曲线上任意点，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A设，由，利用两点间距离公式化简即可判断，对于B利用点到直线的距离公式即可判断，对于C设，利用点到直线的距离即可判断，对于D根据表示圆上点到原点距离的平方，利用点到圆心距离与半径的关系求解.
【详解】对于A： 设，则 ，整理可得，故A正确；
对于B： 圆圆心，半径，圆心到直线的距离，
所以圆上点到直线最小距离为，故B错误；
对于C：设，则，解得，所以的最大值为，故C正确；
对于D：因为，，，
所以，
所以则的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知点，直线，且动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在点使得点到点的距离是点到直线的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 直线是“最远距离直线”
C. 平面上有一点，则的最大值为
D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点）
【答案】ABC
【解析】
【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；判断直线与点的轨迹方程是否有交点判断B；设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义将转化为，结合图形判断C；举例子即可排除D.
【详解】对于A，设，因为点到点的距离是点到直线距离的一半，
所以，化简可得，故A正确；
对于B， 联立，解得，
故存在点，即直线是“最远距离直线”，故B正确；
对于C，由A，设椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得，
当且仅当（点在之间）三点共线时，取得最大值为5，故C正确；
对于D，圆圆心为，半径为，易得点的轨迹与圆交于点，故D错误.
故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组样本数据的标准差为，则数据的方差为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用方差的性质即可求解.
【详解】的标准差为，则数据的方差为，
所以的方差为.
故答案为：36.
13. 已知直线，动直线被圆截得弦长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由圆的方程确定圆心和半径，由直线方程确定直线过定点；再利用直线与圆的位置关系判断过点且与垂直的弦的弦长最短；最后结合弦长公式即可求解.
【详解】由圆可得：圆心，半径.
由直线可得：直线过定点.
因为
所以点在圆内，直线与圆相交，
则过点且与垂直弦的弦长最短，且弦长的最小值为.
故答案为：
14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可.
【详解】蒙日圆的标准方程为，不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴负、正半轴交点，
可知
则直线的方程为，
由，消得到，
令，
解得，，
所以，所以，
所以四边形的面积为，
易知四边形为正方形，且，
所以四边形的面积为，
所以四边形与四边形的面积的比值为，
因为椭圆离心率为 ，所以，得，即，
所以.
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含道传统文化题和道数学历史题的题袋中随机抽取道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.
（1）求甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率；
（2）若甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题，
先求出样本空间，设“恰好道传统文化题和数学历史题”，再求事件，利用古典概型公式即可求解；
（2）设“甲答对道题”（），计算，设“乙答对道题”（），计算，设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”，利用独立事件即可求解.
【小问1详解】
设传统文化题为，数学历史题为，甲从道题中不放回抽取道题，
样本空间，，，，
设“恰好道传统文化题和数学历史题”，，，由古典概型公式得，
所以，甲抽到的道题中恰好是道传统文化题和道数学历史题的概率为；
【小问2详解】
设“甲答对道题”（），
；；
设“乙答对道题”（），
； ，
设“甲、乙两人答对题目总数不少于道”
由两人答题是否正确相互独立，有

所以，甲、乙两人答对题目总数不少于道的概率为.
16. 某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解；
（2）依题意可知题目所求是第%分位数，先判断第%分位数落在哪个区间再求解即可；
（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.
【小问1详解】
一至六组的频率分别为，
所以，平均数为.
由图可知，众数为.
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.
【小问2详解】
前组的频率之和为，
前组频率之和为，
第%分位数落在第组，设为，则，解得.
“人工智能科普达人”的成绩至少为分.
【小问3详解】
的频率为，的频率为，
所以的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为，
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
17. 已知表示圆的方程．
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程．
【答案】（1）
（2）和.
【解析】
【分析】（1）将一般方程转化成标准方程的形式，得即可求出结果；
（2）先求出半径的最大值，再设出直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，再利用直线与圆相切，建立方程即可求出结果.
【小问1详解】
由题可知，该方程表示圆，则，
即，解得，又由
则实数的取值范围为.
【小问2详解】
令，
函数开口向下，对称轴，
当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为，
当切线的斜率不存在时，满足题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为，即．
圆心到切线的距离等于半径长，即，解得，
所以切线方程为，即，
综上所述，所求切线方程为和.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别，左、右顶点分别为，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分）
①，．
②椭圆长轴长为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦与椭圆相交于两点.当点变化时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）选①，由题可得，由此解得得解；选②，可得由此解得得解；
（2）由题可知直线和与轴都不平行，设直线：与椭圆方程联立，求得点的坐标，进而表示直线的方程，令，求得为定值，得解.
【小问1详解】
由题意，椭圆焦点在轴上，
若选①，则，则，
所以椭圆的标准方程为.
若选②，则，得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题可知直线和与轴都不平行，
设直线：，联立，消去得：，
设，则.
设，用代替得.
所以直线的方程为，
令，得，
所以直线过定点.
19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；
（3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线.
【答案】（1）
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.
（3）设，求出直线的方程，然后计算出点到的距离，结合“等线”的定义证明即可.
【小问1详解】
由题意知，显然点在直线的下方，
因为直线为的等线，所以，又，
解得，所以的方程为.
小问2详解】
设，切线，代入，
得，
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，方程仅一个根，
所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立.
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故.
所以，
所以，
所以，所以.
【小问3详解】
设，由，所以，
又，所以，即，
故曲线的方程为.
由（*）知切线为，也为，即，即，
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
由得
因为，
所以直线为的等线.