黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高一数学上学期期中试题含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 集合的子集个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
个元素的集合的子集个数为个．
【详解】解：因为含个元素的集合的子集个数为个，
∴集合有4个子集，
故选：D．
【点睛】本题主要考查有限集的子集个数，属于基础题．
2. 命题的否定是（ ）
A. x∈R， B. ∀x∈R，
C. ∃x∈R，D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在性命题可求解.
【详解】根据全称命题的否定为存在性命题，
可得命题“”的否定为“”.
故选：C.
3. 角的终边过点，（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
故选：D
4. 函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1
C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数．
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
函数在上单调递增，则在上至多一个零点，
又，，
根据零点存在定理知函数在区间内存在零点，
函数在上的零点个数为1，故B正确．
故选：B．
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
6. ，下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的定义依次判断各选项即可.
【详解】，不是偶函数，故A错误；
，不是偶函数，故B错误；
，为偶函数，故C正确；
，不是偶函数，故D错误.
故选：C.
7. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复合函数的单调性判断方法可得，再由函数的定义域范围可得结果.
【详解】由复合函数的单调性可知，内层函数在上单调递增，故，
且在上恒成立，只需，即，解得.
综上，的取值范围是.
故选：C.
8. ，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式分离参数，利用构造函数法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】因为函数，所以关于的不等式
可化为，即，
令，即．
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
且；
当时，，
在上单调递减，且．
如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知，
要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和，
所以实数的取值范围为，即．
故选：A
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 终边在轴上角的集合是
B. 角终边落在第一象限，则角为锐角
C. 角是第二象限角，则是在二，三象限的角
D. 周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用角的终边与象限角的性质分析判断选项ABC，运用扇形公式结合基本不等式分析选项D．
【详解】选项A：终边落在轴上角的集合是，故A正确；
选项B：终边落在第一象限的角的集合为，
角不一定为锐角，例如，故B错误；
选项C：角是第二象限的角，，
，
当时，，位于第一象限；
当时，，位于第三象限；
为第一，三象限的角，故C错误；
选项D：设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：，
扇形面积为，
、均大于零，
，即，整理有，
当且仅当时，扇形面积取最大值，
此时，解得，故D正确．
故选：AD．
10. ，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 最小值为4
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对每个选项，结合的条件，通过二次函数性质（说明开口方向、对称轴）分析最值，或通过基本不等式（补充等号成立条件）分析最值，进而判断选项正误.
【详解】选项A： 由，得.
该式是开口向下的二次函数，其对称轴为，
根据二次函数性质，开口向下的函数在对称轴处取得最大值.
当时，，此时，故的最大值为，A正确.
选项B： .
由基本不等式，，当且仅当（即）时等号成立.
因此，最小值为3，B错误.
选项C： .
由选项A知，当且仅当时.
代入得，故，最大值为，C错误.
选项D： .
由选项A知，当且仅当时.
代入得，故的最小值为，D正确.
故选：AD.
11. 函数的定义域为，若对于任意，且恒成立，则称为复合增函数，下列判断正确的是（ ）
A. 若是复合增函数，则也是复合增函数
B. 复合增函数
C. 是复合增函数
D. 是复合增函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A∶由条件知，若为复合增函数，需有当时，即，即增函数，由此可推导出A正确；对于选项B∶设，用作差法可得B正确；对于选项C∶设，用作差法可得C正确．对于选项D∶用特殊值代入可得 D错误．
【详解】选项A∶由条件知，若为复合增函数，需有当时，即，即是增函数，
若是复合增函数，则是增函数，
从而也是增函数，故A正确；
选项B∶设，当时，
，故为增函数，故B正确；
选项C∶由，
令，
当时，
=
=
=
=
由于，故，
故，即
故是增函数，
故是复合增函数，故C正确；
选项D∶令，
则
故，
故不是增函数，故 D错误．
故选：ABC
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式即可求出定义域.
【详解】由题意可得,
解得,
所以定义域为.
故答案为：
13. 幂函数在是增函数，___________
【答案】8
【解析】
【分析】先根据幂函数定义确定系数满足的方程，求解后结合增函数的条件筛选出符合的值，进而确定函数表达式并计算.
【详解】由幂函数定义，得，即，解得或.
函数在上增函数，故指数：
当时，，符合条件；
当时，，不符合条件.
因此，，则.
故答案为：.
14. 已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）将分数指数幂转化成根式，计算可得结果；
（2）由对数的运算法则及对数恒等式化简可得结果.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的交集运算可得结果；
（2）根据交集的结果得到，由子集的定义列出需满足的不等式并求解可得结果.
【小问1详解】
由题意可得．
当时，，
则．
【小问2详解】
因为，所以，需满足，解得．
综上所述，a的取值范围是.
17. 已知幂函数过点.
（1）求的解析式；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知点代入幂函数解析式，通过指数的等量关系求出指数，得到函数解析式；（2）将不等式恒成立问题转化为求二次函数的最小值，通过配方确定函数的最小值，进而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
将点代入幂函数，得，即，故，
因此的解析式为.
【小问2详解】
由，不等式化为对任意恒成立.
将变形为，因，故，
即的最小值为，因此.
18. 已知函数（且）过点
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点坐标求解指数函数的底数，得解析式；
（2）利用奇偶函数性质分解为奇函数与偶函数之和，将条件转化为恒成立问题，通过换元与基本不等式求最值，确定的范围.
【小问1详解】
由过点，得
因且，故，则.
【小问2详解】
由，为奇函数，为偶函数，得.
联立得，.
对任意，存在使，而，
故在上恒成立.
令，时，单调递减，故.
，代入得，即.
由基本不等式，（当且仅当时取等号），
故
19. 对于定义域相同的函数和，若存在实数使得，则称由和生成的．
（1）若是由和生成的，求的值；
（2）试利用和生成函数，满足为偶函数，且.
（I）求函数的解析式；
（II）已知，对于上的任意值，记，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（I）；（II）．
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义列式，借助恒等式问题列出方程组求解；
（2）（I）利用偶函数的定义计算可得，再利用求出即得解析式；（II）利用函数单调性定义证明函数的单调性，再化简求和即可求出最大值.
【小问1详解】
依题意，，
则，故有，
解得，所以实数的值为；
【小问2详解】
（I）设，
由为偶函数，得，，
则，
整理得，即，于是，
即对任意恒成立，则，
，
又，则，解得，则，
所以函数的解析式为；
（II）由（I）知，
在内任取，且，
则，
又
，
由，，则，，，
则，故，
故，即，故在上是增函数，
由偶函数的性质知，函数在上是减函数，
设，
则，
所以
，
当且仅当或时，
有最大值，
所以的最大值为．