黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析

这是一份黑龙江省哈尔滨市2025_2026学年高二数学上学期期中测试试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据直线方程得出直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系得出倾斜角的正切值，进而求出直线的倾斜角．
【详解】直线，
斜率，
设直线倾斜角，，
，
，故C正确．
故选：C．
2. 对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】是等比数列，则，
，
，等价于，
当时，，数列为递增数列；
当时，，则数列不一定递增，如时，，
不能推出为单调递增数列，不满足充分性；
若为单调递增数列，则对于任意，有，
令，则，
为单调递增数列能推出，满足必要性，
“”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确．
故选：A．
3. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 0B. 4C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求得，利用前项和公式可求得，进而求得公差，利用等差数列的通项公式可求得.
【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得，
由，得，所以，
所以，解得，所以，
所以.
故选：B.
4. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出．
【详解】是等比数列，设公比为，
，
是方程的两根，
，同号，且，
，解得，
又
，故C正确．
故选：C．
5. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】由双曲线，可得，
所以，所以，
因为点P在双曲线C上，，又因为，
所以，解得或，
①当在下支时，，
②当在上支时，，
综上所述：，
所以.
故选：B.
6. 设数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的运算可推导出数列是公比为2的等比数列，利用等比数列的基本性质可求解.
【详解】因为，得，所以，
所以，所以数列是以为公比的等比数列，
又，所以，
即.
故选：A.
7. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可.
【详解】，
又，
，
当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个.
故选：D.
8. 已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解.
【详解】因为，
所以，所以，又，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，
当时，取得最大值，所以取值为.
故选：C.
二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分.
9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D. 不是等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解.
【详解】设的公比为，则由，单调递增，得，
因为，所以，解得或（舍去），
对于A，，故A正确；
对于B，，.故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，
所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误.
故选：AC.
10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D.
【详解】对A、B：由，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确；
对C：，则，故C正确；
对D：，
则，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知等差数列中，当且仅当时，取得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A. 若，则当且仅当时，取得最大值
B. 若，则当且仅当时，取得最大值
C. 若，则当且仅当时，取得最大值
D. 若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况.
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的焦点位置和方程的特点列不等式组，求解即得.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故，解得
即.
故答案为：.
13. 抛物线在处的切线斜率为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由，得，所以，
所以抛物线在处的切线斜率为.
故答案为：.
14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为
，所以的图像关于点成中心对称．
因为，
所以，
两式相加得，所以．
由，得，
所以．
令，
则当时，在上单调递减；
当时，在单调递增．
又，所以，所以，
即的取值范围是．
故答案为：.
四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度.
【答案】（1），准线方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程；
（2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解.
【小问1详解】
由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，
设抛物线的方程为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线C：，准线方程为；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为，
则直线AB：，设，，

由，得：，
则，
则．
16. 记，分别为数列，的前项和，其中，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
【答案】（1）
（2）1508
【解析】
【分析】（1）根据的关系式推出和，再利用推出；
（2）根据结合的关系式求出，再计算．
【小问1详解】
，
当时，，
当时，则，
，
时，符合上式，．
【小问2详解】
，
，
．
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给式子得到，作差即可得到，，再计算，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.
小问1详解】
解：因为，
所以时，，
两式作差得，，
所以时，，
又时，，得，符合上式，
所以的通项公式为．
【小问2详解】
解：，
则，
因为，故，
又在上单调递减，
故随的增大而增大，
故，
综上，．
18. 已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，记数列的前n项和为．
（i）求；
（ii）若成立，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）等式两边同时除以可得；
（2）（ii）由错位相减法求和即可；
（ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可.
【小问1详解】
因为，即，
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
【小问2详解】
（i）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以.
（ii）因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围是.
19. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点构成一系列正三角形，记为（为坐标原点）．设的边长为，点．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列，记的前项和为，求证：．
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算直线的方程，联立抛物线方程，求出坐标，结合正三角形性质可求.根据为正三角形表示点坐标，根据点在曲线上列方程可得结果.
（2）表示坐标，根据在曲线上得到递推关系，得到数列为等差数列可得结果.
（3）利用放缩法得出，分和两种情况可证明．
小问1详解】
设，因为为正三角形，所以直线斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，
因为，所以，故，即，
所以，故.
因为为正三角形，且，所以，
因为点在曲线上，所以，
整理得，解得，
所以．
【小问2详解】
由，得的横坐标为，纵坐标为，
因为在曲线上，
所以，即，故，
两式作差得，，
因为，所以，即，
由可得，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
【小问3详解】
由（2）得，，
因为，所以，故，
当时，，
当时，
．