黑龙江省大庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试含解析

这是一份黑龙江省大庆市2025_2026学年高二数学上学期期中测试含解析，共18页。
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知圆的方程，则该圆的半径为（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的一般方程变形为标准方程后可得.
【详解】圆的方程，即，所以半径为2.
故选：B.
2. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案.
【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c，
则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能，
小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能，
所以小李不能获得奖品的概率.
故选：B
3. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长.
【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，解得，所以椭圆的长轴长为．
故选：B.
4. 直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可.
【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线.
当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意；
所以，令，则，令，则.
由题意，化简得，解得或，
故的所有可能取值之和为.
故选：C.
5. 若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过方程表示圆及点在圆外，构造不等式求解即可.
【详解】由，
化为标准方程可得：，
则，即，①
又在圆外，可得：，解得：或，②
由①②取交集可知，实数的取值范围是，
故选：C.
6. 如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）
A. 点B和C都在椭圆M上B. 点C和D都在椭圆M上
C. 点D和E都在椭圆M上D. 点E和B都在椭圆M上
【答案】C
【解析】
【分析】由点A在椭圆上及椭圆定义求得，即可根据定义逐个判断其它点是否在椭圆上.
【详解】由同心圆及点A在以，为焦点的椭圆M上得，故椭圆中，
∵，，，.
故点D和E都在椭圆M上.
故选：C
7. 在空间四边形中，，，则的值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果．
【详解】由题意
，
又，即，得，
所以．
故选：D．
8. 已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，，
当直线过点时，得，
由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为，
当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去，
结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 直线与圆恒有两个交点
C. 存在实数，使得直线与直线垂直
D. 直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.由判断；B. 由判断；C.由判断；D.由当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短判断.
【详解】A.，即为 ，所以直线恒过点，故错误；
B. 因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两个交点，故正确；
C.当时，直线与直线垂直，故正确；
D. 当圆心与定点的连线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最短，
最短弦长为，故正确；
故选：BCD
10. 在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（ ）
A. 点B. 若为原点，则
C. 点到平面的距离为D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】把代入平面方程计算可判断A；求得平面法向量，可得与不共线判断B；利用点平面的距离公式求得点到平面的距离判断C；求得判断D.
【详解】对于A，因为，所以点，故A正确；
对于B，由平面，可得平面的法向量为，
又，，所以，又，
所以与不共线，故不垂直于平面，故B错误；
对于C，由点到平面的距离公式可得点到平面的距离，故C错误；
对于D，由，，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
11. 已知点，，，点在曲线：上，则（ ）
A. 存在无数个点，使得为定值
B. 存在无数个点，使得为定值
C. 直线与的所有交点的横坐标之积为
D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，得曲线由圆与椭圆组成，根据圆及椭圆定义可判断A、B，将分别与、联立，利用韦达定理可判断C、D.
【详解】由，得，
即4或，
所以曲线由圆与椭圆组成，且圆圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确.
将代入，得，
由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则，，
将代入，得，
由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，，
则，，则，
，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可.
【详解】因为．
由题意得，所以．
故答案为：.
13. 已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______．
【答案】.
【解析】
【分析】先判断在圆上，再结合，求出，利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点，再用三角形面积公式求解即可.
【详解】由题知：圆C的圆心，半径，
易知点满足圆的方程，故在圆上，
因为过点的直线与圆C相切，
故圆心与点所连直线与直线垂直，
故有，而，解得，
根据直线的点斜式可写直线方程为：，
写成一般式：.
则直线与坐标轴的交点为和，
所以与坐标轴围成的三角形面积.
故答案为：.
14. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可.
【详解】
在中，连接，因是的内心，则分别平分和，
由角平分线分线段成比例定理得：，则，
因为，所以，
又因为椭圆的离心率，所以.
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆心为的圆的标准方程；
（2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出线段的中点为，由 确定直线的方程，与直线的方程联立求出圆心坐标和半径，即可得圆的方程；
（2）先判断已知直线与圆相离，再利用圆心到直线的距离即可求得的最小值.
【小问1详解】
由题设，线段的中点为且，
因圆的圆心为，则，故，
则直线方程为，即，
联立，解得，即得，而，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知：，则到的距离，
所以直线与圆相离，则.
16. 甲、乙两人参加某高校入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
（1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率．
（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；
（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【小问1详解】
设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目”
“乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得，
， ，
， ，
设为 “甲、乙两人共答对5道题目”，
则，因为与互斥，与，与分别相互独立，，
所以甲、乙两人共答对5道题目的概率．
【小问2详解】
C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立，
，
E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥，
与，与分别相互独立，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率
17. 已知圆，圆.
（1）试判断圆与圆是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；
（2）若直线与圆交于，两点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.
【答案】（1）相交，
（2）或
【解析】
【分析】（1）将两个圆化成标准方程，再判断圆心距和半径间的距离的关系即可得到两圆相交，两个圆相减可以得到公共弦的方程；
（2）由题意可知，所以，联立直线和圆的方程得到韦达定理，代入即可求解.
【小问1详解】
圆化成标准方程为,圆心,半径.
圆化成标准方程为,圆心,半径.
由于,故两圆相交.
两圆方程作差得，
即公共弦所在直线的方程为.
【小问2详解】
设，
将代入,
得.
整理得,
所以,
所以.
由题意得，即，可得,
所以,即,
解得或.
18. 如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面夹角正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明；
（2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值；
（3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值.
【小问1详解】
证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
19. 已知椭圆离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若，求证：；
（3）过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值.
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到求解；
（2）易知，，与椭圆方程联立，求得A，B的横坐标，再利用弦长公式证明；
（3）设直线l方程为，则直线m的方程为，将直线l的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式得到的表达式，进而得到的表达式求解.
【小问1详解】
解：由题意得：，
则，
所以椭圆的标准方程为：；
【小问2详解】
易知，，设，
由，得，解得，
则，
，
所以；
【小问3详解】
图所示：

若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，
所以直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为 ，则直线m的方程为，设，
由，消去y得，
则，，
易知，将代入直线l的方程得，即，
则，
，
，
同理，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：本题第二三问都体现了“曲”化“直”的思想，涉及到线段问题，注意弦长公式的应用.