广东省中山市华辰实验中学高一下学期4月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省中山市华辰实验中学高一下学期4月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若与角终边相同，则是第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果.
【详解】因为与角终边相同，所以，则，
所以第三象限角；
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，；反之当时，或，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】
，
故选：C.
4. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可.
【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，
所以，点是角的终边上的点，
所以，，
所以
故选：C
5. 已知角为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为为三角形内角，所以，所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故选：A
6. 设，、，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论．
【详解】，
，
，
显然，所以．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．
7. 函数的部分图象如图所示，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【考点】三角函数的图象与性质
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案.
【详解】两边平方得，①，
两边平方得，②，
式子①+②得，
即，即，
所以.
故选：B
二、多选题
9. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题
【详解】由，
由向量加法的三角形法则得
，
又F为AE的中点，则，故A正确；
，故B正确；
，故D正确；
，故C错误.
故选：ABD
10. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称D. 在上值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可．
【详解】当，即时，取最小值，故A错误；
当时，，故在上单调递增，故B正确；
当时，，，
则的图象关于点中心对称，故C错误；
当时，，
则当或，即或时，取最小值；
当，即时，取最大值3，
故在上值域为，故D正确．
故选：BD．
11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】AB选项，转化为图象交点横坐标问题，数形结合得到，，，故A错误，B正确；C选项，数形结合得到，C正确；D选项，在C基础上，由同角三角函数关系得到D正确.
【详解】AB选项，分别令得，，
所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标，
函数的零点等价于与图象交点的横坐标，
其中，，
作出函数，和在上的图象，如图所示，
因为函数与在上的图象关于对称，
在上单调递减，
所以，，，
所以，故A错误，B正确；
C选项，由图象可知，，故，C正确；
D选项，由C知，，且，，
所以，即，
故，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：函数零点问题可以转化为两函数图象交点问题，数形结合进行求解，得到，，，进而判断出结论.
三、填空题
12. 若，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可.
【详解】由可得，
因为，所以，
所以，解得，
所以由，解得，
所以，
故答案为：
13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解.
【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，
在中，
则的面积为，
由题意得
所以，所以.
故答案为：
14. 若，，且，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式化简可得，再利用平方关系及基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，由，得，，
由，得，
则，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用二倍角的正余弦公式变形，把用的正余弦表示是求解问题的关键.
四、解答题
15. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值.
（2）由（1）的信息，利用齐次法求得值.
【小问1详解】
由，
得，所以.
【小问2详解】
.
16. 在平面直角坐标系中，角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求的值；
（2）若为锐角，且，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式即可求解；
（2）先由，终边位置结合的范围确定是第二象限角，求得，再由利用两角差的余弦公式求值即可.
【小问1详解】
∵角的终边经过点，∴
∴，
所以，
∴
【小问2详解】
由题意知，又，∴，
若，则，与不符；
∴，即是第二象限角.
于是
所以.
17. 已知函数，（）的周期是.
（1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间；
（2）解不等式；
（3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间.
（2）将看成整体，解不等式，即可求解.
（3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
因为
，
因为，所以，所以，
因为，所以，
当时，即时函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为：.
【小问2详解】
因为，即，
所以，，
解得：，，
所以不等式解集为：.
【小问3详解】
当时，，此时，
因为不等式恒成立，
所以，解得：.
18. 某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似的满足函数.其图象如图所示：
（1）根据图象求函数解析式；
（2）若甲车间先投产，后乙车间再投产，求乙车间投产时刻时，该厂两车间总的污水排放量；
（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？
【答案】（1）.
（2），.
（3）小时.
【解析】
【分析】（1）由图可得，利用周期公式可求出，,代入求出,即可得函数解析式；
（2）该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，可得时刻的排污量量:，化简即可得，.；
（3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，据题意得，化简可得，借助辅助角可知，化简即可得出，借助图象性质即可得解．
【小问1详解】
由图可得，，
，，
将代入，得，
又，，
，
所求函数的解析式为.；
【小问2详解】
乙车间投产时刻时，
甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为，
故时刻的污水排放量
，.；
【小问3详解】
设乙车间比甲车间推迟小时投产，因其周期为，故，
故时刻的污水排放量，
，
，
由辅助角公式：
即可，即，
则，，
由，故，结合余弦函数图象得，得，
故为满足环保要求，乙车间至少需比甲车间推迟小时投产.
19. 世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．
积化和差：
，
．
和差化积：
，
．
运用上面的公式解决下列问题：
（1）证明：；
（2）若，证明：；
（3）若函数，判断的零点个数，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）仅有个零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可.
（2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明.
（3）易得，再证明当时，即可.
【小问1详解】
根据二倍角公式与和差化积恒等式得：
.
【小问2详解】
左边
，
右边
.
由，得，
所以.
小问3详解】
仅有一个零点.
显然，下面证明当时，.
.
当时，，
因此，
即当时，.
所以仅有1个零点.