广东省中山市2024-2025学年高一下学期4月月考数学检测试题（含答案）

这是一份广东省中山市2024-2025学年高一下学期4月月考数学检测试题（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.若θ2与120∘角终边相同，则θ是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．三 D．四
2.“sinα=32”是“α=π3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.cs105∘cs45∘+cs15∘sin45∘=（ ）
A．−32 B．−12 C．12 D．32
4.已知角α的终边上一点P的坐标为−12，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，
则tanβ+π4=（ ）
A．−13 B．13 C．−3 D．3
5.已知角A为ABC的一个内角，且sinA+π3=23，则sin2A+23π=（ ）
A．−459 B．459 C．±459 D．259
6.设a=32cs29∘−12sin29∘，b=1−cs66∘2，c=2tan16∘1+tan216∘，则有（ ）
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
7.函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin2x−π6 B．y=2sin2x−π3 C．y=2sinx+π6 D．y=2sinx+π3
8.已知sinα+csβ=223，csα+sinβ=m，则sinα+β=（ ）
A．89−m22 B．m22−59 C．m22−49 D．89−m2
二、多选题
9.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且BC→=3EC→，F为AE的中点，则（ ）
A．AF=13AB+13AD B．BC=−12AB+AD C．CF=16AB−23AD D．BF=−23AB+13AD
10.已知函数fx=2sin2x−π4+1，下列选项中正确的是（ ）
A．fx的最小值为−2 B．fx在0π4上单调递增
C．fx的图象关于点π80中心对称 D．fx在π4π2上值域为2+13
若函数的零点为x1，函数的零点为x2，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12.若α∈π2π，且3cs2α=csπ4+αnbsp;，则sin2α=_______________．
13.如图，在RtPBO中，∠PBO=90∘ ，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分POB的面积，且∠AOB=α弧度，则=___________.
14.若α∈0π2，β∈−π2π2，且1+cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，则tan2α−sinβ的最小值为_____．
四、解答题
15.已知2sinα−π−csα+π2sinα+π2−3sinα=2
(1)求tan3π−α的值；
(2)求sin2α−sinαcsα的值．
16.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P12
(1)求sin2α+π4的值；
(2)若β为锐角，且sinα+β=63，求csβ
17.已知函数fx=3sinωxcsωx+csωx+π4csωx−π4，（）的周期是π．
(1)求函数fx的解析式并求函数fx在0π2上的单调增区间；
(2)解不等式
(3)若x∈−π6π4时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
18.某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/ℎ）关于时间t（单位：ℎ）的关系均近似地满足函数.其图象如图所示：

(1)根据图象求函数解析式；
(2)若甲车间先投产，1ℎ后乙车间再投产，求乙车间投产t时刻时，该厂两车间总的污水排放量；
(3)由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过10m3/ℎ，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？
19.16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．
和差化积：
sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2,sinα−sinβ=2csα+β2sinα−β2，
csα+csβ=2csα+β2csα−β2,csα−csβ=−2sinα+β2sinα−β2．
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：cs2α−sin2β=csα+βnbsp;csα−βnbsp;；
(2)若α+β+γ+ω=π，证明：；
(3)若函数fx=sinx2+sin3x4+sin5x6+⋯+sin99x100,x∈02π，判断fx的零点个数，并说明理由．
答案与试题解析
1.C
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
解：
a=32cs29∘−12sin29∘=sin60∘cs29∘−cs60∘sin29∘=sin(60∘−29∘)=sin31∘，
b=1−cs66∘2=2sin233∘2=sin33∘，
c=2tan16∘1+tan216∘=2sin16∘cs16∘1+sin216∘cs216∘=2sin16∘cs16∘=sin32∘，
显然sin31∘lt;sin32∘lt;sin33∘，所以alt;clt;b．
故选：B．
7.A
由图可知，A=2，12T=π3−−π6=π2，即T=π，
∴ω=2πT=2ππ=2，
又∵ω>0，
∴ω=2，
∵函数y=2sin2x+φ过点π3,2，
∴2=2sin2×π3+φ，
∴23π+φ=π2+2kπ，k∈Z，
∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=−π6，
∴y=2sin2x−π6，
故选A．
8.B
解：
sinα+csβ=223两边平方得，sin2α+2sinαcsβ+cs2β=89①，
csα+sinβ=m两边平方得，cs2α+2csαsinβ+sin2β=m2②，
式子①+②得1+2sinαcsβ+2csαsinβ+1=89+m2，
所以sinα+βnbsp;=m22−59．
故选：B.
9.A,B,D
解：
由AB//CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
AE→=AB→+BE→=AB→+−13AB→+23AD→=23AB→+23AD→，
又F为AE的中点，则AF→=12AE→=13AB→+13AD→，故A正确；
BC→=BA→+AD→+DC→=−AB→+AD→+12AB→=−12AB→+AD→，故B正确；
BF→=BA→+AF→=−AB→+13AB→+13AD→=−23AB→+13AD→，故D正确；
CF→=CB→+BF→=BF→−BC→=−23AB→+13AD→−−12AB→+AD→=−16AB→−23AD→，故C错误．
故选：ABD．
10.B,D
解：
对于A，当2x−π4=−π2+2kπ,k∈Z，即x=−π8+kπ,k∈Z时，fx取最小值−1，故A错误；
对于B，当x∈0π4时，2x−π4∈−π4π4，故fx在0π4上单调递增，故B正确；
对于C，当x=π8时，2sin2×π8−π4=0，fπ8=1，
则fx的图象关于点π81中心对称，故C错误；
对于D，当x∈π4π2时，2x−π4∈π43π4，
则当2x−π4=π4或3π4，即x=π4或π2时，fx取最小值2+1；
当2x−π4=π2，即x=3π8时，fx取最大值3，
故fx在π4π2上值域为2+13，故D正确．
故选：BD．
11.B,C,D
解：
AB选项，分别令fx=0,gx=0得sinx=12x，csx=12x，
所以函数fx的零点等价于y=sinx与y=12x图象交点的横坐标，
函数gx的零点等价于y=csx与y=12x图象交点的横坐标，
其中12π4lt;1212=22，sinπ4=csπ4=22，
作出函数y=sinx，y=csx和y=12x在x∈0π2上的图象，如图所示，
因为函数y=sinx与y=csx在x∈0π2上的图象关于x=π4对称，
y=12x在x∈0π2上单调递减，
所以x1+x2∈π23π4，故A错误，B正确；
C选项，由图象可知，C正确；
D选项，由C知，，且x1∈0π4，x2∈π4π2，
故，D正确．
故选：BCD.
12.−1718
13.12
14.22−2
解：
由α∈0π2，得csαgt;0，由β∈−π2π2，得−1lt;sinβlt;1，0lt;1−sinβlt;2，
由1+cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，得2cs2α1+sinβ=2sinαcsαcsβ，
则tanα=1+sinβcsβ，tan2α−sinβ=1+sinβ2cs2β−sinβ=1+sinβ1−sinβ−sinβ
=21−sinβ+1−sinβ−2≥221−sinβ⋅1−sinβ−2=22−2，
当且仅当21−sinβ=1−sinβ，即sinβ=1−2时取等号，
所以tan2α−sinβ的最小值为22−2．
故22−2.
15.
(1)−25.
解：
由2sin(α−π)−cs(α+π2)sin(α+π2)−3sinα=−2sinα+sinαcsα−3sinα=−sinαcsα−3sinα=tanα3tanα−1=2，
得tanα=25，所以tan(3π−α)=−tanα=−25．
(2)−629．
解：
sin2α−sinαcsα=sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−tanαtan2α+1=252−25252+1=−629．
16.
(1)210.
解：
∵角α的终边经过点P1,21，∴OP=12+22=5
∴sinα=255，csα=55,
∴sin2α=2sinαcsα=45，cs2α=cs2α−sin2α=−35，
∴sin2α+π4=sin2αcsπ4+cs2αsinπ4=210.
(2)230−1515.
解：
∵sinα+β=63sinα，
于是csα+β=−1−sin2α+β=−33，
csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinα
=55×−33+255×63=230−1515.
17.
(1)0,π6.
解：
因为f(x)=3sinωxcsωx+cs(ωx+π4)cs(ωx−π4)
=32sin2ωx+csωcsπ4−sinωxsinπ4csωcsπ4+sinωxsinπ4
=32sin2ωx+22csω−22sinωx22csωx+22sinωx
=32sin2ωx+12cs2ωx−sin2ωx
=32sin2ωx+12cs2ωx=sin2ωx+π6，
因为T=2π2ω=π，所以ω=1，所以fx=sin2x+π6，
因为x∈0,π2，所以2x+π6∈π6,7π6，
当π6⩽2x+π6⩽π2时，即0⩽x⩽π6时函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为：0,π6.
(2)π4+kπ,13π12+kπk∈Z.
解：
因为fxlt;32，即sin2x+π6