广东省中山市华辰实验中学2025届高三下高考模拟测试（4月）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设全集，集合，，则（ ）
2. 若复数的实部大于0，且，则（ ）
3. 某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
4. 已知数列是等差数列，且，，则数列的公差是（ ）
5. 函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ）
6. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是（ ）
7. 已知球的半径，三棱锥内接于球，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
8. 若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）
10. 已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为___________．
(参考公式：；参考值：）
13. 已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为______．
14. 已知，设的解集为，若，则实数a的取值范围为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．
（1）求角C的大小；
（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．．
（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
17. 已知函数．
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求实数的取值范围．
18. 小明､小红､小胡三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若小明从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若小红从正四棱锥的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若小胡从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)请问三种随机变量的数学期望哪一个最大？
(2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.
①若，对，3，4成立，求实数，，的值；
②对①中的实数，，证明：对任意且，都成立.
参考数据：.
19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线､关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程；
(2)射线的方程，如果椭圆：经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆､分别交于两点､，且，求椭圆的方程；
(3)对抛物线：，作变换，得抛物线：；对作变换，得抛物线：；如此进行下去，对抛物线：作变换，得抛物线：，…若，，求数列的通项公式.
广东省中山市华辰实验中学2025届高三高考模拟测试（4月）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、数列、三角函数与解三角形、等式与不等式、平面解析几何、空间向量与立体几何、函数与导数、平面向量、推理与证明、坐标系与参数方程
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．15
B．25
C．30
D．35
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．的最大值为
D．的最小值为
A．数列有最小项，且有最大项
B．使的项共有项
C．满足的的值共有个
D．使取得最小值的为4
A．当时，平面
B．任意，三棱锥的体积是定值
C．存在，使得与平面所成的角为
D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合计
80
20
100
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
8
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；补集的概念及运算；交并补混合运算
2
0.85
复数的相等；复数的除法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.94
总体百分位数的估计
4
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算
5
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式
6
0.65
基本（均值）不等式的应用；利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题
7
0.65
多面体与球体内切外接问题；求线面角
8
0.4
由函数的周期性求函数值；函数奇偶性的应用；判断证明抽象函数的周期性
二、多选题
9
0.85
平面向量共线定理的推论；基本不等式“1”的妙用求最值
10
0.85
确定数列中的最大（小）项
11
0.4
线面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；锥体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
三、填空题
12
0.65
卡方的计算；独立性检验的基本思想
13
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；直线的点斜式方程及辨析；根据抛物线方程求焦点或准线
14
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究双变量问题
四、解答题
15
0.65
三角恒等变换的化简问题；正弦定理解三角形
16
0.65
证明面面垂直；已知面面角求其他量
17
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；含参分类讨论求函数的单调区间；函数单调性、极值与最值的综合应用
18
0.4
求离散型随机变量的均值；数学归纳法证明恒等式；由项的系数确定参数；计算古典概型问题的概率
19
0.65
曲线与方程的概念；平面直角坐标系中的伸缩变换；根据a、b、c求椭圆标准方程；累乘法求数列通项
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,12,18
4
数列
4,10,19
5
三角函数与解三角形
5,15
6
等式与不等式
6,9
7
平面解析几何
6,13,19
8
空间向量与立体几何
7,11,16
9
函数与导数
8,14,17
10
平面向量
9
11
推理与证明
18
12
坐标系与参数方程
19