广东省广州市育才中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市育才中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
审核人：唐亚名 命题者：罗文娟
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：（每题5分，共40分）
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再判断即可.
【详解】因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2. 已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用棱台的体积公式计算得解.
【详解】正三棱台的上底面积，下底面积，
所以此三棱台的体积.
故选：B
3. 已知向量，，若在上投影向量为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出，，再根据在上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以在上的投影向量为，所以.
故选：A
4. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A. 8B. C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则，即可得的原图，根据长度关系即可求解.
【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点，
由于为的中点，可得：,
且，，，
故．
故选：D
5. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.
【详解】由正弦定理可知，，
设，
则.
故选：B
6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边上的高（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案.
【详解】∵，，，
∴由余弦定理得，即，
解得或（舍去），又，∴，
由三角形的面积公式可得，即.
故答案为：.
7. 如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可.
【详解】在中，为线段上靠近点的三等分点，则，
因为为线段上一点，设，
即，整理得
，
又因为，、不共线，
所以，，解得.
故选：D.
8. 在中，设，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 边上的高是
C. 外接圆的周长是D. 内切圆的面积是
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项.
详解】对于A，，解得，故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，由B知，，所以外接圆的周长是，故C正确；
对于D，由等积法知，，故D不正确.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知平面向量，，则正确的是（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据数量积的坐标表示判断A，根据基底的定义判断B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：因为，，
所以，所以，数量积不等于0，向量不垂直，故A错误；
对于B：因为，所以与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为， ，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确；
故选：BCD
10. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在第二象限
B. 若为纯虚数，则在虚轴上
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若，则为实数
【答案】BD
【解析】
【分析】运用复数除法计算可判断A项，由纯虚数所对应的点的坐标可判断B项，运用复数模的运算可判断C项，设，则，计算即可判断D项.
【详解】对于A，，故，点在实轴上，故A错误；
对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；
对于C，，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆，面积为，故C错误；
对于D，设，则，
则，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】当为中点时平面，即可判断A，根据平行关系作出截面图，即可判断B，根据锥体的体积公式判断C，转化为求长方体的外接球，即可判断D.
【详解】对于A：当为中点时，因为是的中点，所以，
平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B：因为，分别是，的中点，所以，
在正方体中，易证，所以，
过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；
对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球，
所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确，
故选：ACD.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围.
【详解】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，设，
所以，，
所以，又，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
13. 已知正方体的外接球的表面积是，则该正方体的内切球的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，外接球的半径，由外接球的表面积求出，则内切球的半径，即可求出内切球的体积.
【详解】设正方体的棱长为，则外接球的半径，
所以外接球的表面积，解得，
所以内切球的半径，则该正方体的内切球的体积.
故答案为：
14. 圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，母线，A在上底面上，B在下底面上，从中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短距离为_____cm
【答案】
【解析】
【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．
【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为,
由图得：所求的最短距离是，
设，圆心角，
则由题意知，①， ②，
由①②解得，，
∴，则．
则绳子最短距离为cm．
故答案为：．
四、解答题：（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分）
15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点
（1）求证：平面；
（2）求证：、、、四点共面；
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证四点共面，再证明，由线线平行得到线面平行.
（2）连接，结合条件可证，从而证明.
【小问1详解】
如图：
连接，因为分别为的中点，所以
在三棱柱中，.所以四点共面.
因为分别为的中点，所以，.
所以四边形平行四边形.
所以.因为平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图：
连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，
所以，又，所以，所以、、、四点共面.
16. 已知内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
【小问2详解】
，
，
，
.
17. 某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
（1）求点到点的距离；
（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
【答案】（1）
（2）2小时
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理，求出；
（2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间．
【小问1详解】
由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
【小问2详解】
在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
18. 已知圆锥顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的内切球的表面积；
（3）求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积；
（2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的面积；
（3）令正四棱柱的底面边长为，高为，由三角形相似得到，再由侧面积公式及基本不等式计算可得.
【小问1详解】
设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得（负值舍去），
又，所以，
圆锥的侧面积.
【小问2详解】
作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
【小问3详解】
由（1）知圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为.
19. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.
（1）已知，，，若的平分线交于点D，求线段的长；
（2）若是锐角三角形，且，为的垂心，且，求的取值范围；
（3）若，令，试求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系和正弦定理以及余弦定理求得，再根据余弦定理得，再利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）设，将表示为角的三角函数，再利用二倍角公式，转化为关于的函数，即可求出范围；
（3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以；
又因为，所以，
即，解得，设边上的角平分线长为，
则，
即，
即，解得，即边上的角平分线长为；
【小问2详解】
延长交于，延长交于，
设，所以，
在Rt中，，
在中，，所以，
在Rt中，，
同理可得在Rt中，，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为．
【小问3详解】
由余弦定理，，
所以，
所以
，
，
所以．当且仅当，
即时，．