重庆市第一中学校2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷含解析（word版）

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1. 已知集合 A=x 3x+2≥2,B=x x3−x>0 则 A∩B= ( )
A. (−1,0]B. −2,−12C. −1,−12D. −2,−1
【答案】C
【解析】
【详解】 3x+2≥2 ,即 −2x−1x+2≥0 ,解得 −20 ,即 xx2−1>0 ,解得 −1b>0 的左，右焦点分别为 F1 和 F2 ，且 F2 与抛物线 C2:y2=2pxp>0 的焦点重合,若 P 是 C1 与 C2 的公共点, 7PF2=5PF1 ,则椭圆 C1 的离心率为 ( )
A. 32B. 12C. 32 或 13D. 12 或 13
【答案】D
【解析】
【分析】由 7PF2=5PF1 结合椭圆的定义可得 PF1=7a6,PF2=5a6 ,过点 P 作抛物线 C2 的准线的垂线,垂足为 Q ,进而得到 cs∠PF1F2=57 ,再利用余弦定理求解即可.
【详解】设 F2c,0 ,由椭圆的定义可得 PF1+PF2=2a ,
而 7PF2=5PF1 ,则 PF1=7a6,PF2=5a6 ,
过点 P 作抛物线 C2 的准线的垂线,垂足为 Q ,
由抛物线的定义可知, PQ=PF2=5a6 ,
在 Rt△PQF1 中, cs∠QPF1=PQPF1=5a67a6=57 ,
因为 PQ//x 轴,则 ∠QPF1=∠PF1F2 ,即 cs∠PF1F2=57 ,
在 △PF1F2 中，由余弦定理得 cs∠PF1F2=PF12+F1F22−PF222PF1F1F2=57 ，
则 49a236+4c2−25a2362⋅7a6⋅2c=57 ,整理得 a2−5ac+6c2=0 ,
则 1−5e+6e2=0 ,解得 e=12 或 13 ,则椭圆 C1 的离心率为 12 或 13 .
8. 在平面直角坐标系中,将函数 y=fx 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 π4 后,所得曲线仍然是某个函数的图象,则称函数 y=fx 为 “可旋转函数”. 若函数 gx=kx−1exk∈R 为 “可旋转函数”，则满足条件的整数 k 的值有( )个.
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】等价转化为函数 hx=kx−1ex−x 在定义域内单调递增或单调递减,再代入 h′0=−10 ,不满足题意,
当 k1−2a ,
则 2−a≤1−2a ,解得 a≤−1 ,故 C 正确;
对于 D ,由题意, 16x1+x2+x3+x4+x5+10=10 ,则 x1+x2+x3+x4+x5=50 ,
而 16x1−102+x2−102+x3−102+x4−102+x5−102+10−102=4 ,
则 x1−102+x2−102+x3−102+x4−102+x5−102=24 ,
则去掉数据 10，则剩余数据的平均数为 15x1+x2+x3+x4+x5=10 ，
则剩余数据的方差为 15x1−102+x2−102+x3−102+x4−102+x5−102=245 ，故 D 错误.
10. 已知曲线 E:xx4+yy8=1 ,点 Px0,y0 在曲线 E 上,则下列结论正确的是 ( )
A. 曲线 E 为中心对称图形
B. O 为坐标原点, OP 的最小值为 2
C. x0y0 的最大值为 22
D. 曲线 E 的渐近线方程为 y=−2x
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先对 x,y 分类讨论,从而得到其完整图形,再将点 Px0,y0 关于原点的对称点代入曲线方程即可判断 A ; 分段求出最值即可判断 B ; 利用基本不等式即可判断 C ; 根据双曲线渐近线公式即可判断 D .
【详解】对 A ,如图所示,当 x≥0,y≥0 时, E:x24+y28=1 ,图象为椭圆 x24+y28=1
在第一象限内及坐标轴正半轴上的部分;
当 x0 时, E:y28−x24=1 ,图象为双曲线 y28−x24=1 在第二象限内部分;
当 x>0,y22 ,
当 x>0,y2 ,
故 OP 最小值为 2,故选项 B 正确；
对于选项 C ,当 x≥0,y≥0 时, 1=x024+y028≥x0y022 ,
即 x0y0≤22 ,当且仅当 x0=2,y0=2 时, x0y0 取最大值为 22 ;
当 x0 或 x>0,y−1 时,函数 fx 是以 3 为周期的函数, 进而代值计算即可.
【详解】由 fx=4x−1,x≤0−fx−1−fx+1,x>0 ,
当 x>0 时, fx=−fx−1−fx+1 ,
则 fx+1=−fx−fx+2 ,即 fx=−fx+2−fx+1 ,
则 −fx−1−fx+1=−fx+2−fx+1 ,
即 fx−1=fx+2,x>0 ,则 fx=fx+3,x>−1 ,
所以当 x>−1 时,函数 fx 是以 3 为周期的函数,
而 lg248=4+lg23 ,且 −2+lg23=lg234,−1=lg2120 ,将曲线 y=fx 上点的纵坐标不变, 横坐标变为原来的两倍得到曲线 y=gx,D、E、F 在曲线 y=gx 上, D,F 是相邻的最高点， E 是 D ， F 两点之间的最低点， △DEF 的面积为 π .
(1)求函数 gx 的解析式;
(2)在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，其中 a=10 ， gA=1+32 ， 00 ,
所以 fx=cs2ωx−3sinωxcsωx=cs2ωx+12−32sin2ωx=cs2ωx+π3+12
所以 gx=csωx+π3+12 ,所以 gx 的最大值为 32 ,最小值为 −12 ,
因为 D,F 是相邻的最高点， E 是 D,F 两点之间的最低点， ▵DEF 的面积为 π ，所以 DF=T ,所以 S△DEF=12⋅32−−12⋅T=π ,
所以 T=π ,因为 T=2πω=π ,因为 ω>0 ,所以,解得 ω=2 ,所以 gx=cs2x+π3+12
【小问 2 详解】
因为 gA=1+32,00,解得−12