重庆市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 下列是函数对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角的对边分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点O是ABC的内心，若，则cs∠BAC = （ ）
A. B. C. D.
8. 已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（ ）
A. 10B. 15C. D.
二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知复数z满足：，则（ ）
A. B. 的虚部是3
C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B. 若 ，且 的最小值为，则ω=2
C. 若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D. 若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
11. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若 则 的最大值为
C. 若向量满足则 的最大值是
D. 若向量满足，则 的最小值是2
三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是关于的方程的一个根，则______．
13 已知向量与共线，则_________.
14. 已知函数，则关于的方程：的实根个数为__________.
四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 已知偶函数，，且函数的最小正周期为.
（1）求与值；
（2）若，求的对称轴和对称中心.
16. 已知如图在边长为8的正三角形ABC中，D为BC的中点，E为BD的中点.
（1）若点P为的重心，且有，求m和n的值；
（2）若点Q在以点E为圆心，半径为1圆上运动，且有，求的取值范围.
17. 已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角的对边分别为，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，且.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 锐角面积为，角的对边分别为，且.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）求的最小值.
19. 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被称为的费马点.请根据费马点性质解决下列问题：
（1）已知在中，，，若点为的费马点，求的面积；
（2）已知在中，，，若点为平面上任意一点，求的最小值；
（3）已知在中，，，，点在线段上，且满足，若点为的费马点，求的值.